Обобщенная формула Резерфорда и оптимизация пучкового моделирования гравитационных маневров в Солнечной системе

Язык труда и переводы:
УДК:
629.78
Дата публикации:
09 декабря 2021, 21:27
Категория:
Секция 05. Прикладная небесная механика и управление движением
Авторы
Грушевский Алексей Васильевич
Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН
Голубев Юрий Филиппович
Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН
Корянов Виктор Владимирович
Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН
Тучин Андрей Георгиевич
Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН
Тучин Денис Андреевич
Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН
Аннотация:
Формула Резерфорда для рассеяния заряженных α-частиц в кулоновском поле может быть легко обобщена на случай гравитационного рассеяния с учетом факта инвариантности этой формулы относительно знака силы (притягивающей либо отталкивающей). Одним из типов гравитационного рассеяния в Солнечной системе являются гравитационные маневры. В работе для них по аналогии введено эффективное гравитационное сечение рассеяния и получены обобщенные формулы Резерфорда для гравитационного рассеяния. В результате их анализа получены гарантирующие полуаналитические оценки для достаточного числа виртуальных траекторий космических аппаратов в пучке при моделировании гравитационных маневров около массивных тел Солнечной системы, обеспечивающего реализацию итерационной процедуры поиска баллистических сценариев межпланетных миссий. Особую роль здесь приобретает гарантированное проведение синтеза цепочек гравитационных маневров с переотскоками при необходимости изменить асимптотическую скорость космического аппарата относительно планеты.
Ключевые слова:
гравитационное рассеяние, пучки траекторий, обобщённая формула Резерфорда, дуплетные гравитационные манёвры
Основной текст труда

В астродинамике баллистический анализ полетов космических аппаратов в дальнем космосе с использованием гравитационных маневров (по существу, с использованием гравитационного рассеяния массивными телами Солнечной системы) обычно выполняется с использованием традиционного исследования конечного набора задач Коши и Ламберта. Изучение и описание подобных процессов в физике (кулоновское рассеяние заряженных частиц) осуществляется по-другому — с введением пучка заряженных частиц — совместно направленного компактного потока однородных частиц [1, 2]. В последние годы при решении задач баллистического анализа и построении адаптивных сценариев для проведения гравитационных маневров (ГМ) космических аппаратов в астродинамике также наблюдается тенденция использовать пучковые алгоритмы для синтеза точных требуемых траекторий космических аппаратов (КА), обеспечиваемых интегрированием в полных эфемеридах [3, 4]. Здесь вместо ансамбля заряженных частиц пучок представляет собой набор виртуальных траекторий космических аппаратов с почти одинаковой асимптотической скоростью [3]. В этом контексте представляет интерес синтезировать оба подхода для решения конкретных задач баллистического анализа с гравитационным рассеянием: гравитационный [3] и кулоновский [2].

При баллистическом проектировании постановка вычислительного эксперимента и само моделирование происходит в направлении, обратном опыту Резерфорда по анализу рассеяния заряженных частиц. Значение резерфордовского телесного угла (на конце справа) не является здесь известной величиной. Напротив, величина продольной дальности на левом конце становится априорно задаваемым проектным значением согласно соответствующей задаче Коши начальной трубкой виртуальных траекторий КА.

В традиционной постановке пучкового баллистического проектирования на левом конце моделирования формируется равномерно распределенная трубка виртуальных траекторий КА. Таким образом, ситуация становится идентичной постановке опытов Резерфорда по атомному рассеянию. В дальнейшем производится протяжка трубки виртуальных траекторий через ГМ путем интегрирования согласно точным эфемеридам. Производится селекция полученных траекторий. Для дальнейшего моделирования оставляются только те траектории, которые при дальнейшей протяжке «дуплетом» попадают во вторичную целевую планету. Ценность найденного набора таких траекторий состоит в их достоверности, ”действительности”, поскольку они выстроены в реальных эфемеридах и не требуют решения каскада итерационных процедур и задач Ламберта. В свою очередь каждая из них может использоваться в качестве опорной оси для нового пучка с локализацией и углубленной детализацией [3, 4].

Для сохранения рекуррентности в алгоритме поиска сценариев ГМ необходима хотя бы одна попадающая в новую планету виртуальная траектория КА. После совершения ГМ около текущей цели мы должны “увидеть” следующую по курсу целевую планету. Поэтому определяющую роль в ее обнаружении приобретает достаточность плотности траекторий КА в трубке  на выходе из сферы действия планеты, обеспечивающая “схват” попутно встреченной планеты. Ситуация с первичным обнаружением целевой планеты с помощью ГМ‑рассеянной трубки виртуальных траекторий осложняется ее резерфордовской неравномерностью [3].

Многим исследователям‑баллистикам знакома проблема неустойчивости, возникающая при эксплуатации итерационных процедур в процессе моделирования цепочек ГМ. В первую очередь речь идёт о сходимости метода Ньютона (и его модификаций) при вычислении действительных эфемеридных траекторий КА по прообразу найденного решения задачи Эйлера — Ламберта. Одна из причин кроется в гиперболическом расхождении соседних виртуальных траекторий КА в процессе ГМ. Соседние траектории не только расходятся с большим градиентом, но, перед этим, ещё  и взаимно пересекаются. В результате численного моделирования возникает существенный промах пробной эфемеридной траектории КА мимо планеты-мишени. Использование пучков траекторий повышает вероятность встречи с планетой хотя бы одной из них. При этом, однако, всё равно требуется достаточная плотность рассеянного пучка, не позволяющая проскочить планете‑мишени сквозь ячейку пучка инкогнито. Зачастую это требует рассмотрения миллионов виртуальных вариантов [3, 4].

Для гравитационного рассеяния можно вывести аналитическую формулу [3], которая является аналогом формулы Резерфорда для кулоновского рассеяния α-частиц [1, 2]. Она выражает зависимость вероятности объемного распределения траекторий рассеянных гравитационным маневром космических аппаратов от начальной дальности прицеливания и показывает, что количество рассеянных виртуальных траекторий космических аппаратов резко уменьшается в соответствии с биквадратичной зависимостью от дальности прицеливания.

Полученные аналитические законы гравитационного рассеяния [3] являются ключом для эффективного моделирования гравитационных маневров. С их использованием может быть компенсирована проблема нелинейной неравномерности рассеянного пучка, выражаемая обобщенным законом Резерфорда. Действительно, при равномерном распределении виртуальных траекторий в трубкe виртуальных траекторий, наиболее эффективные траектории КА, в смысле воздействия на них ГМ, то есть наиболее близко пролетающие над ГМ‑планетой, оказываются затем и наиболее «одиночными» [3, 4]. Вероятность проскока фронта рассеянных траекторий мимо планеты-мишени  велика. Однако при изменении закона распределения плотности начальных виртуальных траекторий в пучке, то есть при уходе от равномерной плотности, ситуация может кардинально поменяться. Вместо равномерного распределения траекторий следует генерировать начальную трубку виртуальных траекторий с их неоднородным, концентрическим распределением [3]. 

В итоге на выходе из ГМ формируется равномерно рассеянный гравитацией (инвариантный относительно прицельной дальности и угла разворота вектора асимптотической скорости КА пучок виртуальных траекторий КА, что позволяет значительно уменьшить необходимое количество моделируемых вариантов.

Резюмируем вышесказанное. Формула Резерфорда для рассеяния заряженных α‑частиц в кулоновском поле может быть естественно обобщена на случай гравитационного рассеяния, учитывая факт инвариантности этой формулы относительно знака силы (притягивающей либо отталкивающей). Между тем одним из типов гравитационного рассеяния в Солнечной системе являются гравитационные маневры (ГМ). В работе для ГМ, по аналогии, вводится эффективное гравитационное сечение рассеяния и получена обобщенная формула Резерфорда для гравитационного рассеяния (в частности, она может быть выписана как функция прицельной дальности).

В результате проведения анализа полученных соотношений открывается возможность для получения полуаналитических гарантирующих оценок плотности пучка виртуальных траекторий КА при моделировании ГМ около массивных тел Солнечной системы и для формирования эффективного распределения этой плотности. Это позволяет построить высокоэффективную рекуррентную процедуру поиска баллистических сценариев межпланетных миссий с использованием гравитационных маневров.

Литература
  1. Резерфорд Э. Избранные научные труды. Строение атома и искусственное превращение элементов. М.: Наука, 1972. 533 с.
  2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1988. 215 с.
  3. Голубев Ю.Ф., Грушевский А.В., Корянов В.В., Тучин А.Г., Тучин Д.А. Обобщённая формула Резерфорда и оптимизация пучкового моделирования гравитационных маневров в Солнечной системе // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2021. № 6. 31 c. DOI: 10.20948/prepr-2021-6
  4. Голубев Ю.Ф., Грушевский А.В., Корянов В.В., Тучин А.Г. Гравитационные маневры космического аппарата в системе Юпитера // Известия РАН. Сер. Теория и системы управления. 2014. № 3. С. 149–167. DOI: 10.7868/S0002338814030081
Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.