Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.
Разработка миссий к малым небесным телам требует достаточно точных знаний об их полях притяжения, представленных, в частности, как разложение потенциала в ряд Лапласа. Известно, что коэффициенты рядов Лапласа выражаются через компоненты тензоров Эйлера — Пуансо, вычисление которых представляет несомненный интерес. В докладе рассмотрена возможность применения производящих функций, аналогичных производящим функциям математической статистики, для вычисления компонент тензоров Эйлера — Пуассона произвольного порядка. Исследованы свойства этих функций: изменение функций при сдвиге начала координат и повороте координатных осей. Приведено явное выражение производящей функции компонент тензора Эйлера — Пуансо в случае произвольного однородного тела, поверхность которого представляется многогранником с треугольными гранями, образующими триангуляционную сетку. Такая сетка задает совокупность ориентированных тетраэдров с общей вершиной в некоторой точке, например, в центре масс, и основаниями в гранях сетки. Компоненты тензора Эйлера — Пуансо вплоть до четвертого порядка вычисляются для некоторых астероидов, к которым возможно проектирование миссий [1–4]: (99942) Апофис, (101955) Бенну, (45) Евгения, (321) Флорентина, (532) Геркулина и (16) Психея.
Из математической статистики хорошо известно (см., например, [5]) понятие производящей функции, позволяющей вычислять статистические моменты любого порядка с помощью дифференцирования. Пусть — твердое тело, — прямоугольная правая система координат, — координаты радиус-вектора точки , — плотность тела в точке . Напомним, что тензор Эйлера — Пуансо -го порядка задаётся своими компонентами
Введем функцию
Утверждение. Справедлива формулаВ справедливости утверждения можно убедиться непосредственно, опираясь на теорему о дифференцировании по параметру под знаком интеграла, условия которой предполагаются выполненными.
Будем называть функцию производящей функцией тензора Эйлера-Пуансо [6].
Свойство 1. Пусть — прямоугольная правая система координат, оси которой параллельны соответствующим осям системы координат , а Тогда для таким образом введённых осей производящая функция такова, что
Это свойство доказывается непосредственным вычислением, опирающимся на подстановку . Оно аналогично хорошо известной из механики теореме Гюйгенса — Штейнера (см., например, [7]), согласно которой момент инерции твердого тела относительно любой оси равен моменту инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной данной оси, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.
Свойство 2. Пусть — прямоугольная правая система координат, полученная поворотом из системы координат так, что координаты радиус вектора одной и той же точки в этих двух системах связаны соотношением , где — ортогональная матрица поворота. Тогда производящая функция в системе координат имеет вид
Замечание 1. Непосредственное преобразование компонент тензора Эйлера — Пуансо при таких заменах систем координат задается несложными, но весьма громоздкими выражениями.
Выполняются вычисления компонентов тензора Эйлера — Пуансо вплоть до четвёртого порядка для ряда малых небесных тел. Предполагая, что такие тела однородны, вычисляются отношения этих коэффициентов к массе соответствующего тела, являющейся коэффициентом тензора Эйлера — Пуансо нулевого порядка: . Вычисления осуществляются в осях , введенных в базе данных [8] для задания параметров триангуляционной сетки.
Тензор Эйлера — Пуансо первого порядка определяет положение центра масс, точнее, в рамках сделанных предположений об однородности — его барицентра :
Тензор Эйлера-Пуансо второго порядка позволяет вычислить тензор инерции в осях , опираясь на формулу , где — единичная -матрица, а также найти главные оси инерции и главные моменты инерции.
Замечание 2. Точка , начало используемой системы отсчета, вообще говоря не совпадает с барицентром изучаемых тел. Кроме того, оси этой системы отсчёта не являются главными осями тензора инерции. Не составляет труда перейти в систему отсчета, связанную с главными центральными осями инерции. Однако, как показывают выполненные вычисления, отклонение этих двух систем отсчета друг от друга весьма невелико. Кроме того, при необходимости можно воспользоваться правилами преобразования производящих функций.
