О производящей функции тензора Эйлера — Пуансо твердого тела

Язык труда и переводы:
УДК:
531.36
Дата публикации:
06 января 2022, 17:28
Категория:
Секция 05. Прикладная небесная механика и управление движением
Авторы
Аннотация:
Рассмотрена возможность применения производящих функций, аналогичных производящим функциям математической статистики, для вычисления компонент тензоров Эйлера — Пуассона произвольного порядка. Исследованы свойства этих функций: изменение функций при сдвиге начала координат и повороте координатных осей. Приведено явное выражение производящей функции компонент тензора Эйлера — Пуансо в случае произвольного однородного тела, поверхность которого представляется многогранником с треугольными гранями, образующими триангуляционную сетку. Такая сетка задает совокупность ориентированных тетраэдров с общей вершиной в некоторой точке. Компоненты тензора Эйлера — Пуансо вплоть до четвертого порядка вычисляются для некоторых астероидов, к которым возможно проектирование миссий.
Ключевые слова:
тензор Эйлера — Пуансо, момент инерции произвольного порядка, статистические моменты, производящая функция
Основной текст труда

Разработка миссий к малым небесным телам требует достаточно точных знаний об их полях притяжения, представленных, в частности, как разложение потенциала в ряд Лапласа. Известно, что коэффициенты рядов Лапласа выражаются через компоненты тензоров Эйлера — Пуансо, вычисление которых представляет несомненный интерес. В докладе рассмотрена возможность применения производящих функций, аналогичных производящим функциям математической статистики, для вычисления компонент тензоров Эйлера — Пуассона произвольного  порядка. Исследованы свойства этих функций: изменение функций при сдвиге начала координат и повороте координатных осей. Приведено явное выражение производящей функции компонент тензора Эйлера — Пуансо в случае произвольного однородного тела, поверхность которого представляется многогранником с треугольными гранями, образующими триангуляционную сетку. Такая сетка задает совокупность ориентированных тетраэдров с общей вершиной в некоторой точке, например, в центре масс, и основаниями в гранях сетки.  Компоненты тензора Эйлера — Пуансо вплоть до четвертого порядка вычисляются для некоторых астероидов, к которым возможно проектирование миссий [1–4]: (99942) Апофис,  (101955) Бенну, (45) Евгения, (321) Флорентина, (532) Геркулина и (16) Психея.

Из математической статистики хорошо известно (см., например, [5]) понятие производящей функции, позволяющей вычислять статистические моменты любого порядка с помощью дифференцирования. Пусть {\cal {G}} — твердое тело, Ox_{1}x_{2}x_{3} — прямоугольная правая система координат, \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},x_{3})^{T} — координаты радиус-вектора {\overrightarrow {OP}} точки P\in {\cal {G}} , \rho (\mathbf {x} ) — плотность тела в точке P . Напомним, что тензор Эйлера — Пуансо k -го порядка задаётся своими компонентами

I_{k_{1}k_{2}k_{3}}=\iiint \limits _{\cal {G}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}x_{3}^{k_{3}}\rho (\mathbf {x} )dx_{1}dx_{2}dx_{3},\quad k_{1}+k_{2}+k_{3}=k.

Введем функцию

F(\mathbf {t} )=\iiint \limits _{\cal {G}}e^{\left(\mathbf {t} ,\mathbf {x} \right)}\rho (\mathbf {x} )dx_{1}dx_{2}dx_{3},\quad \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},t_{3})^{T},\quad \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}.

Утверждение. Справедлива формула I_{k_{1}k_{2}k_{3}}={\frac {\partial ^{k}F(0,0,0)}{\partial t_{1}^{k_{1}}\partial t_{2}^{k_{2}}\partial t_{3}^{k_{3}}}}. В справедливости утверждения можно убедиться непосредственно, опираясь на теорему о дифференцировании по параметру под знаком интеграла, условия которой предполагаются выполненными.

Будем называть функцию F\left(\mathbf {t} \right) производящей функцией тензора Эйлера-Пуансо [6].

Простейшие свойства производящей функции

Свойство 1. Пусть O'x_{1}'x_{2}'x_{3}' — прямоугольная правая система координат, оси которой параллельны соответствующим осям системы координат Ox_{1}x_{2}x_{3} , а {\overrightarrow {OO'}}=\mathbf {f} =(f_{1},f_{2},f_{3})^{T}.  Тогда для таким образом введённых осей производящая функция F'(\mathbf {t} ;\mathbf {f} ) такова, что

F'(\mathbf {t} ;\mathbf {f} )=\iiint \limits _{\cal {G}}e^{(\mathbf {t} ,\mathbf {x} ')}\rho (\mathbf {x} ')dx_{1}'dx_{2}'dx_{3}'=e^{-(\mathbf {t} ;\mathbf {f} )}F(\mathbf {t} ).

Это свойство доказывается непосредственным вычислением, опирающимся на подстановку \mathbf {x} '=\mathbf {x} -\mathbf {f} . Оно аналогично хорошо известной из механики теореме Гюйгенса — Штейнера (см., например, [7]), согласно которой момент инерции твердого тела относительно любой оси равен моменту инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной данной оси, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.  

Свойство 2. Пусть Ox_{1}''x_{2}''x_{3}'' — прямоугольная правая система координат, полученная поворотом из системы координат Ox_{1}x_{2}x_{3} так, что координаты радиус вектора одной и той же точки в этих двух системах связаны соотношением \mathbf {x} ''=\mathbf {S} \mathbf {x} , где \mathbf {S} — ортогональная матрица поворота. Тогда производящая функция F''(\mathbf {t} ;\mathbf {S} ) в системе координат Ox_{1}x_{2}x_{3} имеет вид

F''(\mathbf {t} ;\mathbf {S} )=\iiint \limits _{{\cal {G}}B}e^{\left(\mathbf {t} ,\mathbf {x} ''\right)}\rho (\mathbf {x} '')dx_{1}''dx_{2}''dx_{3}''=\iiint \limits _{\cal {G}}e^{\left(\mathbf {t} ,\mathbf {S} \mathbf {x} \right)}\rho (\mathbf {x} )det(\mathbf {S} )dx_{1}dx_{2}dx_{3}=\iiint \limits _{\cal {G}}e^{\left(\mathbf {S} ^{T}\mathbf {t} ,\mathbf {x} \right)}\rho (\mathbf {x} )dx_{1}dx_{2}dx_{3}=F(\mathbf {S} ^{T}\mathbf {t} ).

Замечание 1. Непосредственное преобразование компонент тензора Эйлера — Пуансо при таких заменах систем координат задается несложными, но весьма громоздкими выражениями.

Компоненты тензоров Эйлера — Пуансо для малых небесных тел

Выполняются вычисления компонентов тензора Эйлера — Пуансо вплоть до четвёртого порядка для ряда малых небесных тел. Предполагая, что такие тела однородны, вычисляются отношения этих коэффициентов к массе m=\rho V соответствующего тела, являющейся коэффициентом тензора Эйлера — Пуансо нулевого порядка: m=\mathbf {I} _{0} . Вычисления осуществляются в осях Ox_{1}x_{2}x_{3} , введенных в базе данных [8] для задания параметров триангуляционной сетки.

Тензор Эйлера — Пуансо первого порядка \mathbf {I} _{1} определяет положение центра масс, точнее, в рамках сделанных предположений об однородности — его барицентра Z :
{\overrightarrow {OZ}}={\frac {\mathbf {I} _{1}}{m}}. Тензор Эйлера-Пуансо второго порядка \mathbf {I} _{2} позволяет вычислить тензор инерции \mathbf {J} в осях Ox_{1}x_{2}x_{3} , опираясь на формулу \mathbf {J} ={\text{Trace}}\left(\mathbf {I} _{2}\right)\mathbf {E} -\mathbf {I} _{2} , где \mathbf {E} — единичная 3\times 3 -матрица, а также найти главные оси инерции и главные моменты инерции. 

Замечание 2. Точка O , начало используемой системы отсчета, вообще говоря не совпадает с барицентром Z изучаемых тел. Кроме того, оси этой системы отсчёта не являются главными осями тензора инерции. Не составляет труда перейти в систему отсчета, связанную с главными центральными осями инерции. Однако, как показывают выполненные вычисления, отклонение этих двух систем отсчета друг от друга весьма невелико. Кроме того, при необходимости можно воспользоваться правилами преобразования производящих функций.

Литература
  1. Lauretta D.S., Bartels A.E., Barucci M.A. et. al. The OSIRIS-REx target asteroid (101955) Bennu: Constraints on its physical, geological, and dynamical nature from astronomical observations // Meteorit Planet Sci. 2015. Vol. 50. Pp. 834–849.
  2. Scheeres D.J., Hesar S.G., Tardivel S. et. al. The geophysical environment of Bennu // Icarus. 2016. Vol. 276. Pp. 116–140. DOI: 10.1016/j.icarus.2016.04.013
  3. Lord P., Tilley S., Oh D.Y. et al. Psyche: Journey to a metal world // 2017 IEEE Aerospace Conference. 2017. Pp. 1–11. DOI: 10.1109/AERO.2017.7943771
  4. Юдицкая А.С., Ткачев С.С., Сравнительный анализ методов моделирования гравитационного потенциала тел сложной формы // Матем. моделирование. 2021. Т. 33, № 5. С. 78–90. DOI: 10.20948/mm-2021-05-06
  5. Уилкс С. Математическая статистика. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. 632 с.
  6. Буров А. А., Никонова Е. А. Производящая функция компонент тензора Эйлера-Пуансо // Доклады Российской академии наук. Сер. Физика, технические науки. 2021. Т. 498. С. 53–56.
  7. Четаев Н.Г. Теоретическая механика. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 368 с.
  8. 3D Asteroid Catalogue. Available at: https://3d-asteroids.space/ (accessed May 9, 2021).
Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.