Об относительных равновесиях точки на шероховатой поверхности сферической полости равномерно вращающегося гравитирующего шара

Язык труда и переводы:
УДК:
531.36
Дата публикации:
17 декабря 2021, 02:52
Категория:
Секция 05. Прикладная небесная механика и управление движением
Авторы
Никонов Василий Иванович
Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» РАН; Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Буров Александр Анатольевич
Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» РАН; Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Шалимова Екатерина Сергеевна
Научно-исследовательский институт механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Аннотация:
Рассмотрена задача об относительных равновесиях точки в окрестности равномерно вращающегося гравитирующего однородного шара со сферической полостью. Исследованы существование и ветвление множеств относительных равновесий (точек либрации), расположенных внутри полости, как при наличии сухого трения, так и в его отсутствие. В предлагаемой работе обсуждается гипотетический случай, когда внутри небесного тела имеется достаточно большая полость и движение материальной точки происходит внутри этой полости.
Ключевые слова:
небесные тела с полостями, точки либрации, относительные равновесия, движение в нецентральном гравитационном поле, обобщенная гравитирующая гантель, сухое трение
Основной текст труда

В небесной механике обычно рассматривается движение гравитирующих тел, расположенных друг по отношению друг к другу внешним образом. Гораздо менее распространено изучение так называемой задачи Роба [1], в рамках которой предполагается, что тело или материальная точка движется внутри гравитирующей среды. Такая постановка задачи оказывается применимой при изучении динамики звезд в галактической среде [2]. 

Пусть {\cal {A}} — твердое тело, получающееся из однородного шара {\cal {B}} с центром B радиуса r_{B} изъятием содержимого сферической полости {\cal {C}} с центром C радиуса r_{C} : {\cal {A}}={\cal {B}}\setminus {\cal {C}} . Предполагается, что тело {\cal {A}} совершает вращение c постоянной угловой скоростью \omega >0   вокруг оси, перпендикулярной оси BC и проходящей через точку O — центр масс тела. Пусть материальная точка P движется по внутренней \partial {\cal {A}}_{i} или внешней \partial {\cal {A}}_{e} поверхности тела {\cal {A}} под действием притяжения со стороны тела и, быть может, силы сухого трения. В дальнейшем считается, что частичка пренебрежимо мала по сравнению с телом и не оказывает влияния на его движение. Предполагается, что полость {\cal {C}} не выходит за пределы внешней поверхности тела.

Предполагается, что точка P движется внутри полости {\cal {C}} или по поверхности \partial {\cal {A}}_{i} этой полости. Движение осуществляется под действием силы притяжения с его стороны, центробежной и кориолисовой сил, а также нормальной и касательной составляющих реакции в случае соприкосновения точки P с поверхностью \partial {\cal {A}}_{i} . При наличии такого соприкосновения под касательной составляющей реакции понимается сила сухого трения.

Для исследования задачи о движении точки P введена  равномерно вращающаяся вместе с телом система отсчёта Ox_{1}x_{2}x_{3} , ось Ox_{1} которой направлена вдоль оси симметрии тела, ось Ox_{3} направлена вдоль оси вращения, а ось Ox_{2} дополняет их до правой тройки.

Замечание. Главные центральные моменты инерции тела {\cal {A}} I_{1}^{\cal {A}}(O)={\frac {8}{15}}\rho \pi \left(r_{B}^{5}-r_{C}^{5}\right),\quad I_{2}^{\cal {A}}(O)=I_{3}^{\cal {A}}(O)={\frac {8}{15}}\rho \pi \left(r_{B}^{5}-r_{C}^{5}\right)-{\frac {4}{3}}\rho \pi \left(r_{B}^{3}-r_{C}^{3}\right)\cdot b\cdot c, b=|{\overrightarrow {OB}}| , c=|{\overrightarrow {OC}}| , удовлетворяют неравенству
I_{1}^{\cal {A}}(O)\geq I_{2}^{\cal {A}}(O)=I_{3}^{\cal {A}}(O), т. е. предполагается, что динамически симметричное тело вращается вокруг оси инерции, отвечающей наименьшему моменту инерции.

Как известно (см., например, [3], задача О-130), напряженность поля притяжения со стороны тела {\cal {A}} внутри полости имеет вид
\mathbf {g} _{A}=-{\frac {4}{3}}\pi G\rho \,{\overrightarrow {CB}}, где G — постоянная тяготения, \rho — плотность тела {\cal {A}} . Иными словами, внутри полости поле сил притяжения постоянно и однородно.

В случае отсутствия трения с помощью метода Рауса [4–6] обнаружены четыре класса точек либрации. 
{\text{I}}.\quad \lambda =\lambda _{W},\quad x_{1}=c-r_{C},\quad x_{2}=0,\quad x_{3}=0.

{\text{II.}}\quad \lambda =\lambda _{E},\quad x_{1}=c+r_{C},\quad x_{2}=0,\quad x_{3}=0{\text{.}}

{\text{III.}}\quad \lambda =\lambda _{C},\quad (x_{1},x_{2}):\,\,(x_{1}-c)^{2}+x_{2}^{2}=r_{C}^{2},\quad x_{3}=0.
{\text{IV.}}\quad \lambda =0,\quad x_{1}=x_{1\star },\quad x_{2}=0,\quad -x_{3*}\leq x_{3}\leq x_{3*}.

Точкам либрации I и II отвечают ближняя и дальняя точки диаметра полости, расположенного на оси симметрии тела. Каждая из этих точек либрации имеет физический смысл в некотором диапазоне угловых скоростей, при которых нормальная реакция, задаваемая величиной \lambda , положительна. Неизолированные точки либрации III, существующие при единственном значении угловой скорости, заполняют окружность, расположенную в сечении полости координатной плоскостью Ox_{1}x_{2} . Точки либрации III физичны: на них реакция связи положительна. Точки либрации IV находятся внутри полости, на них реакция связи обращается в нуль. Эти точки, существующие в определенном диапазоне угловых скоростей, также неизолированы: при каждом значении угловой скорости они заполняют некоторую хорду, параллельную оси вращения и пересекающую ось симметрии тела. Установлены диапазоны угловых скоростей, в которых устойчивы по Ляпунову точки либрации из множеств I и II. Показано, что точки либрации из множеств III и IV всегда неустойчивы. Изучено ветвление упомянутых множеств точек либрации, построены бифуркационные диаграммы, с помощью которых исследованы области возможного движения. Указаны значения параметров, когда область возможного движения пуста, когда она диффеоморфна диску или полноторию, а также когда она совпадает со всей полостью.

Также рассмотрен случай, когда поверхность полости шероховатая, с коэффициентом трения \mu ={\text{tg}}\alpha , где \alpha — угол трения.
Если  \Omega =\omega \cdot {\sqrt {\frac {3}{4\pi G\rho }}}\geq 0 d=|{\overrightarrow {CB}}| , то можно ввести обозначения
\Omega _{0}={\sqrt {\frac {d}{c}}},\quad \Omega _{\pm }={\sqrt {\frac {d}{c\pm r_{C}}}},\quad \Omega _{\pm s}={\sqrt {\frac {d}{c\pm r_{C}\sin \alpha }}},\quad \Omega _{\pm c}={\sqrt {\frac {d}{c\pm r_{C}\cos \alpha }}}. Пусть c>r_{C} . Для случая \alpha \in [0;\pi /4) имеет место  неравенство 
0\leq \Omega _{+}\leq \Omega _{+c}<\Omega _{+s}\leq \Omega _{0}\leq \Omega _{-s}<\Omega _{-c}\leq \Omega _{-}.\qquad \qquad \qquad (1) При \alpha =\pi /4 имеем \Omega _{\pm c}=\Omega _{\pm s}.

Для случая \alpha \in (\pi /4;\pi /2] имеет место  неравенство 

0\leq \Omega _{+}\leq \Omega _{+s}<\Omega _{+c}\leq \Omega _{0}\leq \Omega _{-c}<\Omega _{-s}\leq \Omega _{-}.\qquad \qquad \qquad (2) Для значений угловой скорости, принадлежащих различным промежуткам, определяемым неравенствами (1) и (2), установлены области, заполненные неизолированными точками либраций. Установлено, что эти области могут быть топологически эквивалентны совокупности дисков и колец. 

Замечание. В случае, когда тело {\cal {A}} равномерно вращается около оси симметрии, исследование задачи о движении материальной точки по его поверхности выполнено в [7]. 

Грант
Исследование выполнено при частичной поддержке Российского научного фонда (проект № 22-21-00297).
Литература
  1. Robe H.A.G. A new kind of 3-body problem // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 1977. Vol. 16, no. 3. Pp. 343–351.
  2. Гасанов С.А., Лукьянов Л.Г. О точках либрации в задаче о движении звезды внутри эллиптической галактики // Астрономический журнал. 2002. Т. 79, № 10. С. 944–951.
  3. Генденштейн Л.Э., Кирик Л.А., Гельфгат И.М Решение ключевых задач по физике для основной школы. 7–9 классы. М.: Илекса, 2016. 208 с.
  4. Routh E.J. Treatise on the stability of a given state of motion. Cambridge: Cambridge University press, 1877. 108 p.
  5. Routh E.J. The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies. London: McMillan. 1884. 343 p.
  6. Карапетян А.В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998. 168 с.
  7. Буров А.А., Никонов В.И., Шалимова Е.С. Движение массивной точки по поверхности однородного шара со сферической полостью // Прикладная математика и механика. 2021. Т. 85, № 4. С. 528–543.
Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.