О многообразии «гравитационный пропеллер» в обобщенной круговой задаче Ситникова

Язык труда и переводы:
УДК:
531.011:521.1
Дата публикации:
25 января 2022, 00:39
Категория:
Секция 05. Прикладная небесная механика и управление движением
Авторы
Красильников Павел Сергеевич
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Аннотация:
Исследовано поступательно-вращательные движения однородного стержня малой массы в круговой ограниченной задаче трех тел, когда притягивающие тела имеют одинаковые массы. Описан новый тип движений стержня, когда его центр масс перемещается вдоль нормали к плоскости вращения основных тел, при этом сам стержень непрерывно вращается вокруг этой нормали, образуя с ней постоянный угол 90° (многообразие «гравитационный пропеллер»). Показано также, что указанное многообразие движений включает в себя, как частный случай, два типа движений стержня. К движениям первого типы мы относим вращения стержня с постоянной угловой скоростью, совпадающей с угловой скоростью вращения основных тел. Движения второго типа — плоские неравномерные вращения стержня в плоскости движения основных тел. Существует также многообразие движений, когда стержень поступательно движется вдоль нормали, будучи ориентирован вдоль нее. Дано описание движений на этих многообразиях.
Ключевые слова:
стержень, поступательно-вращательное движение, интегральные многообразия, задача Ситникова
Основной текст труда

В последнее время активно исследуется динамика поступательно-вращательных движений искусственных небесных тел в задаче трех тел [1–3]. Обзор более ранних исследований представлен в статье [4].

Изучается динамика поступательно-вращательных движений космического аппарата, рассматриваемого как однородный стержень в гравитационном поле притяжения двух одинаковых по массе основных тел, вращающихся вокруг общего центра масс по круговой орбите.

Пусть  m — масса стержня; 2l — его длина;  M — масса каждого из основных тел, орбиты которых представляют собой окружности радиуса \ a \omega _{0} — угловая скорость орбитального движения притягивающих тел. Пусть C\xi \eta \zeta — инерциальная система координат;  C — центр масс основных тел; Cxyz — синодическая система координат. Обозначим через O\xi '\eta '\zeta ' систему координат, центр масс которой O находится в центре масс стержня, а оси параллельны осям системы C\xi \eta \zeta , через  Ox'y'z' — систему координат, оси которой совпадают с главными осями инерции стержня (ось Oz' направлена вдоль стержня).

Тогда уравнения движения центра масс стержня можно записать в виде

  m{\ddot {\xi }}={\frac {\partial U}{\partial \xi }};\quad m{\ddot {\eta }}={\frac {\partial U}{\partial \eta }};\quad m{\ddot {\zeta }}={\frac {\partial U}{\partial \zeta }},                                                (1)

где  \xi ,\eta ,\zeta — координаты центра масс стержня O U=U_{1}+U_{2} — силовая функция задачи, где

U_{1}=-fM\rho \ln \left|{\frac {\gamma -l+{\sqrt {l^{2}-2l\gamma +\left(\xi -a\cos \omega _{0}t\right)^{2}+\left(\eta -a\cos \omega _{0}t\right)^{2}+\zeta ^{2}}}}{\gamma +l+{\sqrt {l^{2}+2l\gamma +\left(\xi -a\cos \omega _{0}t\right)^{2}+\left(\eta -a\cos \omega _{0}t\right)^{2}+\zeta ^{2}}}}}\right|;                                             (2)

\gamma =-a\sin \theta \sin \left(\psi -\omega _{0}t\right)+\zeta \cos \theta +\sin \theta (\xi \sin \psi -\eta \cos \psi ).

Выражение для U_{2} имеет аналогичный вид с учетом замены \ a на \ -a;   \{\psi ,\varphi ,\theta \} — углы Эйлера.

Уравнения вращательных движений принимают вид

{\ddot {\psi }}=-2{\dot {\psi }}{\dot {\theta }}{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}+{\frac {1}{A\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial U}{\partial \psi }};         {\ddot {\theta }}={\dot {\psi }}^{2}\cos \theta \sin \theta +{\frac {1}{A}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }};         A={\frac {ml^{3}}{3}}.                                (3)

Главное многообразие. Уравнения (1)–(3) допускают двумерное интегральное многообразие вида

\xi =\eta =0;   \zeta =z(t);     \theta ={\frac {\pi }{2}};       \psi =\omega _{0}t+\delta (t);                                                         (4)

                      m{\ddot {z}}=-Dz\left[{\sqrt {\Delta _{1}}}(l+a\sin \delta )+{\sqrt {\Delta _{2}}}(l-a\sin \delta )\right];                                            

A{\ddot {\delta }}=Da\cos \delta \left[{\sqrt {\Delta _{1}}}\left(a^{2}+z^{2}+la\sin \delta \right)-{\sqrt {\Delta _{2}}}\left(a^{2}+z^{2}-la\sin \delta \right)\right];                                             (5)

D={\frac {2fM\rho }{\left(a^{2}\cos ^{2}\delta +z^{2}\right){\sqrt {\Delta _{1}\Delta _{2}}}}};         \Delta _{1}=l^{2}-2la\sin \delta +a^{2}+z^{2};         \Delta _{2}=l^{2}+2la\sin \delta +a^{2}+z^{2}.                             

 

Многообразие (4), (5) описывает частный тип поступательно-вращательного движения стержня, при котором стержень непрерывно вращается вокруг оси Cz при условии, что его центр масс перемещается вдоль этой оси. 

Подмногообразие A:

\xi =\eta =0;     \zeta =z(t);     \theta ={\frac {\pi }{2}};     \psi =\omega _{0}t+{\frac {\pi }{2}}       \left(\psi =\omega _{0}t+{\frac {3\pi }{2}}\right);

m{\ddot {z}}={\frac {2M\rho f}{z}}\left[{\frac {a-l}{\sqrt {(a-l)^{2}+z^{2}}}}-{\frac {a+l}{\sqrt {(a+l)^{2}+z^{2}}}}\right].

Здесь стержень ориентирован вдоль оси Cx

Подмногообразие B:

\xi =\eta =0;       \zeta =z(t);     \theta ={\frac {\pi }{2}};       \psi =\omega _{0}t       \left(\psi =\omega _{0}t+\pi \right);

m{\ddot {z}}={\frac {4Mlf\rho z}{{\sqrt {l^{2}+a^{2}+z^{2}}}\left(a^{2}+z^{2}\right)}}.

Стержень ориентирован перпендикулярно оси Cx

Подмногообразие C:

\xi =\eta =0;       \zeta =z(t);     \theta =0;   

m{\ddot {z}}=2fM\rho \left({\frac {1}{\sqrt {(l+z)^{2}+a^{2}}}}-{\frac {1}{\sqrt {(l-z)^{2}+a^{2}}}}\right).

Здесь стержень ориентирован вдоль оси Cz .

Грант
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 22-21-00560).
Литература
  1. Guzzetti D., Howell K.C. Natural periodic orbit-attitude behaviors for rigid bodies in three- body periodic orbits // Acta Astronautica. 2017. Vol. 130. Pp. 97–113. DOI: 10.1016/j.actaastro.2016.06.025
  2. Boue G., Laskar J. Precession of a planet with a satellite // Icarus. 2006. Vol. 185. Pp. 312–330. DOI: 10.1016/j.icarus.2006.07.019
  3. Guzzetti D., Howell K.C. Coupled orbit-attitude dynamics in the three-body problem: a family of orbit-attitude periodic solutions // AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference. 2014. DOI: 10.2514/6.2014-4100
  4. Zhuravlev S.G., Petrutskii A.A. Current status of the problem of translational-rotational motion of three-body problem // Astron Zh. 1990. Vol. 67. Corpus ID: 118800444. Pp. 602–611.
Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.