Н.Е. Жуковский и теорема Ламберта

Язык труда и переводы:
УДК:
629.19
Дата публикации:
27 декабря 2021, 15:50
Категория:
Секция 05. Прикладная небесная механика и управление движением
Авторы
Ивашкин Вячеслав Васильевич
Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН, МГТУ им. Н.Э. Баумана
Аннотация:
Выполнен обзор работ Н.Е. Жуковского по астрономии и небесной механике. Основное внимание уделено полученному Н.Е. Жуковским в 1882 г. и впервые опубликованному им в 1884 г. на французском языке оригинальному доказательству теоремы Ламберта о зависимости времени перелета между двумя заданными точками гелиоцентрического пространства от большой полуоси орбиты перелета. Показано также, как Н.Е. Жуковский с помощью данной теоремы выводит формулу для этого времени перелета.
Ключевые слова:
научные труды Н.Е. Жуковского, теорема Ламберта, большая полуось орбиты перелета, время перелета между двумя точками пространства
Основной текст труда

17 января 2022 г. исполняется 175 лет со дня рождения нашего великого ученого-механика Николая Егоровича Жуковского. Основной вклад в науку он внес в аэродинамику, которая является теоретической основой авиации. Поэтому В.И. Ленин назвал его «отцом русской авиации».

Однако научные интересы Николая Егоровича, как крупного ученого, специалиста в разных направлениях, были многогранны. Он получил важные результаты в ряде областей как теоретической, так и прикладной механики. Это, кроме аэродинамики и авиации, также теоретическая механика, гидродинамика и гидравлика, теория машин и механизмов, механика твердого тела, астрономия и небесная механика, математика, теория смазки, теория упругости и другие области науки. Его магистерская диссертация называлась «Кинематика жидкого тела» (1876). Этой работой Н.Е. начал серию работ по гидро- и аэромеханике, став крупным ученым мирового уровня. Уже в данной первой его научной работе проявились особенности его последующих исследований, в частности, высокий научный уровень работы и стремление, используя упрощенную модель сложной задачи, применив для ее решения наглядные, зачастую геометрические, и, одновременно, точные способы исследования, получить крупные и, в то же время, понятные результаты.

Важной чертой Николая Егоровича было его стремление исследовать не абстрактные научные проблемы, а задачи, связанные с миром природы и техники, и применять точные методы и результаты механики к решению таких «живых» задач. Этому помогло, в частности, его близкое общение с рядом ученых, особенно со А.Г. Столетовым и Ф.А. Бредихиным. Отметим, для примера, его работу «О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью». Она была удостоена в 1886 г. премии Московского Университета и оказалась очень актуальной в 1950-х и 1960-х годах в связи с анализом движения ракеты, в которой были баки с топливом, как жидким наполнением. Очень важной стала работа Н.Е. по строительству аэродинамических труб, первых в России и одних из первых в мире. Это построенные в 1902–1910 гг. трубы в Московском Университете (МУ), в Кучино, в Московском техническом училище (МТУ). Исследования, выполненные на этих трубах, помогли созданию теории крыла, теории подъемной силы. Н.Е. был одним из организаторов Центрального Аэрогидродинамического Института ЦАГИ (1918), который носит сейчас имя Н.Е. Жуковского.

Общение с Бредихиным Ф.А. способствовало выполнению Н.Е. в 1880-х годах ряда интересных работ по астрономии и небесной механике. Это были работы [1]: а) «К вопросу о движении материальной точки под притяжением одного и двух центров» (1881); б) «Геометрическая интерпретация теории движения полюсов вращения Земли по ее поверхности»; в) «Вывод точных формул движения, произведенного отталкивающей силой Солнца»; г) «Упрощенное изложение Гауссова способа определения планетных орбит»; д) «О графическом решении основного уравнения при вычислении планетных орбит»; е) «О новом доказательстве теоремы Ламберта»; ж) «Решение одной задачи из теории комет».

Основной для данного доклада будет работа Н.Е. по доказательству теоремы Ламберта [1].

Эта теорема утверждает, что «время, в течение которого планета проходит эллиптическую дугу AB, зависит только от длины хорды 2c пройденной дуги, от суммы 2b радиусов-векторов точек A и B, проведенных от Солнца, и большой оси 2a» [1, 2]. Теорема важна сама по себе, она также дает независимый путь в построении формулы, определяющей время перелета Dt в зависимости от указанных параметров a, b, c [1, 2]. Поэтому она является важным элементом решения задачи Ламберта, состоящей в определении орбиты перелета между двумя заданными точками Кеплеровского поля за заданное время [2–9]. Решение этой задачи есть один из краеугольных камней современной механики космического полета. И можно только удивляться интуиции Н.Е. Жуковского, который не был астрономом и занялся данной задачей. Рассмотрим кратко основные шаги нового, предложенного Жуковским доказательства данной теоремы.

  1. Сначала Н.Е. доказывает лемму о выражении времени перелета планеты по дуге через действие, интеграл от скорости по пути: «Время, в течение которого планета, находящаяся под действием Солнца F, проходит дугу AB, равняется дроби a/m, умноженной на действие в движении планеты по той же эллиптической дуге AB, если предположить, что Солнце перемещено из фокуса F в другой фокус эллипса F1, здесь m — коэффициент притяжения» (гравитационный параметр).
  2. Н.Е. приводит формулу для вариации действия, т. е. по лемме, для вариации времени перелета планеты.
  3. В начале доказательства Н.Е. вводит два софокусных эллипса, взяв для них точки A и Bданной дуги за фокусы эллипсов. Первый эллипс проходит через Солнце F, его большая ось 2b. Второй эллипс проходит через F1, его большая ось 4a–2b.
  4. Фиксируя a, b, с, Н.Е. варьирует перелет и вычисляет вариацию времени перелета dDt. Используя установленную им ранее связь времени перелета с действием, формулу для вариации действия и свойства конических сечений, он получает, что вариация времени перелета по дуге ABравна нулю, dDt = 0. Отсюда следует, что если параметры a, b, с заданы, то время перелета не меняется, т.е. оно зависит только от этих переменных a, b, с, что доказывает Теорему Ламберта. Данное доказательство демонстрирует подход Н.Е. Жуковского к анализу сложных задач механики – он делает точный анализ, стремясь при этом выполнять геометрически наглядные выкладки.

Доказав постоянство времени перелета при постоянной большой полуоси орбиты перелета, Н.Е. на этой основе получает формулу для времени перелета, «деформируя» перелет, сделав его прямолинейным с простыми промежуточными выражениями, допускающими интегрирование.

Литература
  1. Жуковский Н.Е. Собрание сочинений. Т. 1: Общая механика, математика и астрономия. М.; Л.: ОГИЗ. Гос. издат-во техн.-теоретич. лит-ры, 1948. С. 605–609.
  2. Battin R.H. Astronautical guidance: New York; San Francisco; Toronto; London: McGraw-Hill Book Company, 1964. 400 p.
  3. Эльясберг П.Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1965. 540 с.
  4. Escobal P.R. Methods of Orbit Determination. New York; London; Sydney: John Wiley and Sons, Inc., 1965. 463 p.
  5. Кубасов В.Н., Дашков А.А. Межпланетные полеты. М.: Машиностроение, 1979. 272 с.
  6. Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 448 с.
  7. Суханов А.А. Астродинамика: М.: Институт космических исследований РАН, 2010. 202 с.
  8. Izzo D. Revisiting Lambert’s problem // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2015. Vol. 121, no. 1. Pp. 1–15. DOI: 10.1007/s10569-014-9587-y
  9. Лан Аньци. Методика определения траекторий космического аппарата для экспедиции Земля — астероид — Земля с учетом выбора орбит пребывания у астероида и ее применение для экспедиции к астероиду Апофис: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 2018. 23 с.
Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.