Исследуются течения в конструктивных элементах турбонасосных агрегатов (ТНА), компрессоров и газовых турбин: полость вращения между ротором и стенкой газовой турбины, подводящее устройство турбин, боковые полости вращения между рабочим колесом и стенкой корпуса лопаточного нагнетателя, полости гидродинамических уплотнений и т.п. В элементах гидравлического тракта присутствуют участки и каналы различной геометрии: цилиндрического переменного сечения, прямоугольного переменного сечения, вращательных течений с неподвижными и вращающимися образующими [1–3].
Необходимо учитывать, как изменение скоростей рабочего тела, так и потери давления по длине канала. В связи с широким диапазоном режимных параметров течения в элементах энергетических установок жидкостных ракетных двигателей (ЖРД) реализуются существенно различные параметры потока в пограничном слое (существенно различные эпюры распределения профиля скорости потока). В элементах и каналах систем подачи ЖРД могут реализовываться ламинарные и турбулентные режимы течения [4, 5]. В целях повышения точности и совершенствования расчетных методик необходимо более точно определять численные значения характерных величин пограничного слоя, влияющих как на потери в элементах проточного тракта, так и на энергетические и рабочие параметры турбомашин.
Для определения численных значений характерных величин динамического и температурного пограничных слоев (таких как толщина вытеснения, толщина потери импульса и толщина потери энергии), а также для расчета динамических и тепловых параметров технических систем, необходимо получить выражения для определения толщины динамического пограничного слоя, для ламинарного и развитого турбулентного течений в зависимости от расстояния от входной кромки канала [6, 7].
Рассмотрим уравнение количества движения пограничного слоя, полученное Т. Карманом:
(1)
Используя профили распределения скорости в пограничном слое и уравнение для интеграла количества движения (1), получим:
(2)
Верхний предел интегрирования заменим на толщину динамического пограничного слоя δ, так как для условия интегрирования y > δ скорости U = u и подынтегральное выражение обращается в нуль. Учитывая полученные выражения для толщин потери импульса для ламинарного и турбулентного течений
запишем уравнение (2) в следующем виде:
(3)
Рассмотрим особенности ламинарного течения. Аппроксимируем распределение ламинарного динамического пограничного слоя функцией
с учетом полученного выражения для толщины потери импульса для продольного потока случая ламинарного течения в пограничном слое [4, 5] преобразуем уравнение (3)
(4)
Согласно [4], касательное напряжение трения определим как
(5)
Тогда, учитывая уравнение количества движения (4) и касательное напряжение трения (5), уравнение количества движения приводит к дифференциальному уравнению
(6)
Проведя сокращение и разделив переменные, получим
(7)
После интегрирования уравнения (7) получим
(8)
Исходя из граничных условий при x = 0, соответственно C = 0, тогда толщина ламинарного пограничного слоя в зависимости от расстояния от входной кромки:
(9)
Выражение (9) определяет зависимость толщины динамического пограничного слоя в зависимости от координаты x (длины участка обтекания поверхности или элемента) и от параметра внешнего потока (критерия Re). Построена графическая зависимость, определенная по выражению (9) для различных значений степеней распределения профиля динамического ламинарного пограничного слоя [8].
Переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный, характеризуется формпараметром [4]
(10)
Причем при переходе от ламинарного течения к турбулентному данный формпараметр уменьшается от значения 2,6 в ламинарной области до значения 1,4 в турбулентной области [4].
Рассмотрим турбулентный пограничный слой, аппроксимируем распределение турбулентного динамического пограничного слоя функцией
(11)
С учетом полученного выражения для толщины потери импульса для продольного потока случая турбулентного течения в пограничном слое получим [4, 5]
(12)
Воспользуемся законом трения на пластине для турбулентного пограничного слоя согласно [7]:
(13)
Учитывая уравнение количества движения (12) и закон трения (5) уравнение количества движения приводит к дифференциальному уравнению
(14)
Произведя сокращение и разделив переменные, получим:
(15)
После интегрирования уравнения (15) и проведения дальнейшего преобразования, получим выражение для определения толщины турбулентного пограничного слоя в зависимости от расстояния от входной кромки:
(16)
Если реализуется турбулентный пограничный слой сразу от переднего края, то исходя из граничных условий при x = 0 соответственно C = 0, тогда
(17)
Отметим, что турбулентный пограничный слой образуется только на каком-то критическом расстоянии xc от переднего края, т. е. при x ≠ 0. В этой критической точке пограничный слой уже имеет определенную толщину, так как он реализуется при переходе от ламинарного пограничного слоя. Тогда из (16)
(18)
где k — коэффициент на который уменьшает пограничный слой при переходе от ламинарного к турбулентному из условия (10).
Отметим, что зависимость, полученная по зависимости (17), совпадает с выражением, полученным Г. Шлихтингом. Но, как было отмечено, в проточных частях агрегатов подачи ЖРД параметры потока могут существенно различаться и, соответственно, меняться профиль эпюры динамического пограничного слоя, что влечет изменение параметров пограничного слоя [2].
Полученные выражения для определения толщин ламинарного (9) и динамического (17), (18) пограничных слоев необходимо использовать при определении относительных характерных толщин динамического пространственного пограничного слоя [8].
Используя уравнение количества движения пограничного слоя, полученное Т. Карманом, и учитывая особенности профилей распределения скорости динамического пограничного слоя, а также касательные напряжения трения при ламинарном и турбулентном течениях для пластины, получили выражения для определения толщин динамического пограничного слоя для начальных участков динамически нестабилизированных течений в зависимости от координаты x.