Определение толщины динамического пограничного слоя для начального нестабилизированного участка

Язык труда и переводы:
УДК:
621.454.2
Дата публикации:
30 декабря 2021, 20:57
Категория:
Секция 03. Основоположники аэрокосмического двигателестроения и проблемы теории и конструкций двигателей летательных аппаратов
Авторы
Зуев Александр Александрович
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М.Ф. Решетнёва
Шелудько Максим Леонидович
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М.Ф. Решетнёва
Данилов Николай Андреевич
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М.Ф. Решетнёва
Арнгольд Анна Анатольевна
АО «Красноярский машиностроительный завод»
Аннотация:
С использованием методов теории пространственного пограничного слоя определены характерные толщины пограничного слоя, такие как толщина динамического пограничного слоя, толщина вытеснения и толщина потери импульса. Построены зависимости скорости ядра течения и оценки потерь от длины начальных динамически нестабилизированных участков, требуемые для достоверного определения энергетических параметров. Необходим корректный выбор законов трения и профилей распределения скорости в пограничном слое. Полученные зависимости учитывают профиль распределения скорости в пограничном слое на характерных участках для случаев ламинарного и турбулентного режимов.
Ключевые слова:
пограничный слой, уравнение количества движения, толщина пограничного слоя, турбонасосные системы
Основной текст труда

Исследуются течения в конструктивных элементах турбонасосных агрегатов (ТНА), компрессоров и газовых турбин: полость вращения между ротором и стенкой газовой турбины, подводящее устройство турбин, боковые полости вращения между рабочим колесом и стенкой корпуса лопаточного нагнетателя, полости гидродинамических уплотнений и т.п. В элементах гидравлического тракта присутствуют участки и каналы различной геометрии: цилиндрического переменного сечения, прямоугольного переменного сечения, вращательных течений с неподвижными и вращающимися образующими [1–3].

Необходимо учитывать, как изменение скоростей рабочего тела, так и потери давления по длине канала. В связи с широким диапазоном режимных параметров течения в элементах энергетических установок жидкостных ракетных двигателей (ЖРД) реализуются существенно различные параметры потока в пограничном слое (существенно различные эпюры распределения профиля скорости потока). В элементах и каналах систем подачи ЖРД могут реализовываться ламинарные и турбулентные режимы течения [4, 5]. В целях повышения точности и совершенствования расчетных методик необходимо более точно определять численные значения характерных величин пограничного слоя, влияющих как на потери в элементах проточного тракта, так и на энергетические и рабочие параметры турбомашин.

Для определения численных значений характерных величин динамического и температурного пограничных слоев (таких как толщина вытеснения, толщина потери импульса и толщина потери энергии), а также для расчета динамических и тепловых параметров технических систем, необходимо получить выражения для определения толщины динамического пограничного слоя, для ламинарного и развитого турбулентного течений в зависимости от расстояния от входной кромки канала [6, 7].

Уравнение количества движения

Рассмотрим уравнение количества движения пограничного слоя, полученное Т. Карманом:

 

\rho {\frac {d}{dx}}\int _{0}^{l}(U-u)udy-\rho {\frac {dU}{dx}}\int _{0}^{l}udy=\tau _{\omega }+l{\frac {dp}{dx}}.                                                    (1)

Используя профили распределения скорости в пограничном слое и уравнение для интеграла количества движения (1), получим:

I=\rho \int _{0}^{l}(U-u)udy=\rho U^{2}\int _{0}^{l}{\frac {u}{U}}\left(1-{\frac {u}{U}}\right)dy.                                                       (2)

Верхний предел интегрирования заменим на толщину динамического пограничного слоя δ, так как для условия интегрирования y > δ скорости U = u  и подынтегральное выражение обращается в нуль. Учитывая полученные выражения для толщин потери импульса для ламинарного и турбулентного течений

\int _{0}^{\delta }{\frac {u}{U}}\left(1-{\frac {u}{U}}\right)dy=\delta ^{*t},

запишем уравнение (2) в следующем виде:

I=\rho U^{2}\delta ^{**}.                                                                                                   (3)

Ламинарный пограничный слой

Рассмотрим особенности ламинарного течения. Аппроксимируем распределение ламинарного динамического пограничного слоя функцией

{\frac {u}{U}}=1-\left(1-{\frac {y}{\delta }}\right)^{m},

с учетом полученного выражения для толщины потери импульса для продольного потока случая ламинарного течения в пограничном слое [4, 5] преобразуем уравнение (3)

I=\rho U^{2}\delta ^{**}=\rho U^{2}{\frac {\delta m}{(m+1)(2m+1)}}.                                                                          (4)

Согласно [4], касательное напряжение трения определим как

\tau _{\omega }=0,332\rho U^{2}\left({\frac {v}{Ux}}\right)^{\frac {1}{2}}.                                                                                             (5)

Тогда, учитывая уравнение количества движения (4) и касательное напряжение трения (5), уравнение количества движения приводит к дифференциальному уравнению

\rho U^{2}{\frac {m}{(m+1)(2m+1)}}{\frac {d\delta }{dx}}=0,332\rho U^{2}\left({\frac {v}{Ux}}\right)^{\frac {1}{2}}.                                                           (6)

Проведя сокращение и разделив переменные, получим

d\delta ={\frac {0,332}{\frac {m}{(m+1)(2m+1)}}}\left({\frac {v}{Ux}}\right)^{\frac {1}{2}}dx.                                                                                      (7)

После интегрирования уравнения (7) получим

\delta ={\frac {0,332\cdot 2}{\frac {m}{(m+1)(2m+1)}}}\left({\frac {v}{U}}\right)^{\frac {1}{2}}x^{\frac {1}{2}}+C.                                                                              (8)

Исходя из граничных условий при x = 0, соответственно C = 0, тогда толщина ламинарного пограничного слоя в зависимости от расстояния от входной кромки:

\delta ={\frac {0,664}{\frac {m}{(m+1)(2m+1)}}}\left({\frac {v}{U}}\right)^{\frac {1}{2}}x^{\frac {1}{2}}={\frac {0,664}{\frac {m}{(m+1)(2m+1)}}}{\frac {1}{\mathrm {Re} _{x}^{\frac {1}{2}}}}x.                                                         (9)

Выражение (9) определяет зависимость толщины динамического пограничного слоя в зависимости от координаты x (длины участка обтекания поверхности или элемента) и от параметра внешнего потока (критерия Re). Построена графическая зависимость, определенная по выражению (9) для различных значений степеней распределения профиля динамического ламинарного пограничного слоя [8].

Переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный, характеризуется формпараметром [4]

H={\frac {\delta ^{*}}{\delta ^{**}}}\approx 2,6.                                                                                     (10)

Причем при переходе от ламинарного течения к турбулентному данный формпараметр уменьшается от значения 2,6 в ламинарной области до значения 1,4 в турбулентной области [4].

Турбулентный пограничный слой

Рассмотрим турбулентный пограничный слой, аппроксимируем распределение турбулентного динамического пограничного слоя функцией

{\frac {u}{U}}=\left({\frac {y}{\delta }}\right)^{\frac {1}{m}}.                                                                                          (11)

С учетом полученного выражения для толщины потери импульса для продольного потока случая турбулентного течения в пограничном слое получим [4, 5]

I=\rho U^{2}\delta ^{**}=\rho U^{2}{\frac {\delta m}{(m+1)(m+2)}}.                                                                (12)

Воспользуемся законом трения на пластине для турбулентного пограничного слоя согласно [7]:

\tau _{\omega }=0,0225\rho U^{2}\left({\frac {v}{U\delta }}\right)^{\frac {1}{4}}.                                                                                (13)

Учитывая уравнение количества движения (12) и закон трения (5) уравнение количества движения приводит к дифференциальному уравнению

\rho U^{2}{\frac {m}{(m+1)(m+2)}}{\frac {d\delta }{dx}}=0,0225\rho U^{2}\left({\frac {v}{U\delta }}\right)^{\frac {1}{4}}.                                                               (14)

Произведя сокращение и разделив переменные, получим:

\delta ^{\frac {1}{4}}d\delta ={\frac {0,0225}{\frac {m}{(m+1)(m+2)}}}\left({\frac {v}{U}}\right)^{\frac {1}{4}}dx.                                                                              (15)

После интегрирования уравнения (15) и проведения дальнейшего преобразования, получим выражение для определения толщины турбулентного пограничного слоя в зависимости от расстояния от входной кромки:

\delta ={\frac {0,0572}{\left({\frac {m}{(m+1)(m+2)}}\right)^{\frac {4}{5}}}}\left({\frac {v}{U}}\right)^{\frac {1}{5}}x^{\frac {4}{5}}+C.                                                                            (16)

Если реализуется турбулентный пограничный слой сразу от переднего края, то исходя из граничных условий при x = 0 соответственно C = 0, тогда

\delta ={\frac {0,0572}{\left({\frac {m}{(m+1)(m+2)}}\right)^{\frac {4}{5}}}}\left({\frac {v}{U}}\right)^{\frac {1}{5}}x^{\frac {4}{5}}={\frac {0,0572}{\left({\frac {m}{(m+1)(m+2)}}\right)^{\frac {4}{5}}}}\left({\frac {1}{\operatorname {Re} _{x}}}\right)^{\frac {1}{5}}x.                                          (17)

Отметим, что турбулентный пограничный слой образуется только на каком-то критическом расстоянии xc  от переднего края, т. е. при x ≠ 0. В этой критической точке пограничный слой уже имеет определенную толщину, так как он реализуется при переходе от ламинарного пограничного слоя. Тогда из (16)

\delta ={\frac {0,0572}{\left({\frac {m}{(m+1)(m+2)}}\right)^{\frac {4}{5}}}}\left({\frac {1}{\mathrm {Re} _{x}}}\right)^{\frac {1}{5}}x+k\delta _{x},                                                                   (18)

где k — коэффициент на который уменьшает пограничный слой при переходе от ламинарного к турбулентному из условия (10).

Отметим, что зависимость, полученная по зависимости (17), совпадает с выражением, полученным Г. Шлихтингом. Но, как было отмечено, в проточных частях агрегатов подачи ЖРД параметры потока могут существенно различаться и, соответственно, меняться профиль эпюры динамического пограничного слоя, что влечет изменение параметров пограничного слоя [2].

Полученные выражения для определения толщин ламинарного (9) и динамического (17), (18) пограничных слоев необходимо использовать при определении относительных характерных толщин динамического пространственного пограничного слоя [8].

Используя уравнение количества движения пограничного слоя, полученное Т. Карманом, и учитывая особенности профилей распределения скорости динамического пограничного слоя, а также касательные напряжения трения при ламинарном и турбулентном течениях для пластины, получили выражения для определения толщин динамического пограничного слоя для начальных участков динамически нестабилизированных течений в зависимости от координаты x.

Литература
  1. Жуйков Д.А., Зуев А.А., Толстопятов М.И. К расчету потерь в проточных частях агрегатов подачи жидкостных ракетных двигателей // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2020. №. 6 (135). C. 32–43.
  2. Кишкин А.А., Зуев А.А., Делков А.В., Шевченко Ю.Н. Аналитический подход при исследовании уравнений импульсов пограничного слоя при течении в межлопаточном канале газовых турбин // Вестник Московского авиационного института. 2021. Т. 28, № 1. С. 45–60.
  3. Zuev A.A. et al. Disc friction to specify power balance of a turbopump unit of LPE // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. IOP Publishing, 2020. Vol. 822, no. 1. Art. ID 012023.
  4. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712 с.
  5. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. М.: Энергия, 1977. 344 с.
  6. Кейс В.М. Конвективный тепло- и массообмен. М.: Энергия, 1972. 448 с.
  7. Зуев А.А., Назаров В.П., Арнгольд А.А., Петров И.М. Дисковое трение при определении баланса мощностей турбонасосных агрегатов жидкостных ракетных двигателей // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Сер. Аэрокосмическая техника. 2019. № 57. С. 17–31.
  8. Зуев А.А., Назаров В.П., Арнгольд А.А., Петров И.М. Методика определения дискового трения малорасходных центробежных насосов // Сибирский журнал науки и технологий. 2019. Т. 20, № 2. С. 219–227. DOI: 10.31772/2587-6066-2019-20-2-219-227
  9. Зуев А.А., Арнгольд А.А., Назаров В.П. Участки динамически нестабилизированных течений в характерных каналах проточных частей турбонасосных агрегатов жидкостных ракетных двигателей // Вестник Московского авиационного института. 2020. Т. 27, № 3. С. 167–185.
  10. Zuev A.A. et al. Resistance moment of a rotation surface of liquid rocket engines turbomachines elements // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. IOP Publishing, 2020. Vol. 862, no. 2. Art. ID 022032.
Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.