Переход к переменным Кустаанхеймо — Штифеля как каноническое преобразование уравнений оптимального движения с малой тягой

Язык труда и переводы:
УДК:
629.78
Дата публикации:
06 января 2022, 18:35
Категория:
Секция 05. Прикладная небесная механика и управление движением
Авторы
Корнеев Кирилл Романович
Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН
Трофимов Сергей Павлович
Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН
Аннотация:
Рассмотрено использование преобразований Кустаанхеймо — Штифеля для координат и Сундмана для времени в качестве однородного точечного преобразования с репараметризацией в задаче поиска оптимальной траектории межпланетного перелета с двигателем малой тяги. Такое преобразование сохраняет каноничность расширенной системы уравнений оптимального движения. На основе принципа максимума Понтрягина определено оптимальное управление вектором тяги при условии ограниченной мощности и сформулирована двухточечная краевая задача. Получены численные решения для задачи перелета Земля — Марс. Исследованы сходимость и устойчивость предлагаемого метода, а также выполнено его сравнение с методом продолжения по параметру.
Ключевые слова:
преобразование, малая тяга, преобразование Сундмана, преобразование Кустаанхеймо — Штифеля, принцип максимума Понтрягина, каноническое преобразование
Основной текст труда

Одним из способов уменьшения расхода топлива в межпланетных перелётах космических аппаратов (КА) является использование двигателей малой тяги, сообщающих малое в сравнении с центральным гравитационным ускорением реактивное ускорение, но обладающих высоким удельным импульсом. Перелеты с малой тягой характеризуются длительным временем работы двигателя. Для решения задач оптимизации соответствующих траекторий используют прямые методы, основанные на дискретизации траектории и функции управления и сведении к задаче нелинейного программирования, и непрямые методы, использующие необходимые условия оптимальности. Непрямые методы траекторной оптимизации чаще всего опираются на принцип максимума Понтрягина [1], сводящий задачу оптимального управления к краевой. Вектор состояния дополняется вектором сопряженных переменных, а условия трансверсальности формируют граничные условия краевой задачи. Такая краевая задача отличается высокой чувствительностью. Особенно сильно это свойство проявляется при использовании декартовых прямоугольных координат. Одним из путей уменьшения чувствительности может служить переход к другим фазовым переменным с более удобными численными свойствами [2]. Эта замена переменных может рассматриваться как точечное каноническое преобразование расширенной управляемой динамической системы [3], что позволяет применять хорошо разработанный формализм поиска канонических преобразований.

Целью исследования было построение краевой задачи принципа максимума в фазовых переменных Кустаанхеймо — Штифеля (КС) [4], с репараметризацией траекторий согласно преобразованию Сундмана [5], с помощью формализма точечных канонических преобразований, а также проверка работоспособности стандартных методов оптимизации для решения получающейся краевой задачи.

Переменные Кустаанхеймо — Штифеля и преобразование Сундмана широко известны и позволяют регуляризовать задачу двух тел, избавляя её от сингулярности в нуле и сводя уравнения пассивного движения к уравнениям гармонических колебаний. Однако применение КС-переменных в понтрягинском формализме требует дополнительных действий — нахождения условий трансверсальности и наложения ограничения на управление для физической осуществимости траектории. Большую часть этих вопросов можно разрешить, трактуя КС-преобразование как однородное точечное преобразование. Применяя уже известный формализм таких канонических преобразований, можно легко получить дифференциальные уравнения для сопряжённых переменных и условия трансверсальности, а проблема наложения ограничений на управление решается с помощью записи уравнений Эйлера — Лагранжа и решения получившегося уравнения относительно неизвестных переменных.

Чувствительность получившейся краевой задачи такова, что позволяет использовать стандартные методы оптимизации, трактуя граничные условия в качестве ограничений типа равенства. Проверка полученных оптимальных траекторий осуществляется путем их сравнения с теми, что получаются при использовании метода продолжения по параметру в декартовых координатах [6]. Во-первых, такое сравнение показало полное совпадение оптимальных траекторий для выбранного функционала. Во-вторых, это позволило сравнить числа обусловленности матрицы чувствительности и эффективность обоих методов. При сопоставимом быстродействии числа обусловленности были значительно меньше, что указывает на гораздо меньшую чувствительность задачи.

Результаты исследования демонстрируют, что КС-переменные могут быть использованы в задаче оптимизации межпланетной траектории без применения громоздкого метода продолжения по параметру. Несомненным преимуществом является естественный контроль числа витков с помощью преобразования Сундмана — перехода от физического времени к фиктивному. Дополнительной особенностью разработанной методики является прямое использование смешанного ограничения на физическую осуществимость траектории, в то время как в работе [7] это ограничение вводится с помощью гомотопии.

Данное исследование показало, что использованная замена переменных помогает при оптимизации траекторий. Помимо описанных преимуществ приведенный в исследовании формализм позволяет искусственно синтезировать еще более удобные замены, чем КС-преобразование. Такой синтез и будет целью последующих работ.

Грант
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 19-11-00256 «Динамика и навигация космических аппаратов в сложных гравитационных полях»).
Литература
  1. Милютин А.А., Дмитрук А.В., Осмоловский Н.П. Принцип максимума в оптимальном управлении. М.: Центр прикладных исследований мехмата МГУ, 2004. 168 с.
  2. Junkins J.L., Taheri E. Exploration of alternative state vector choices for low-thrust trajectory optimization // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2019. Vol. 42, no. 1. Pp. 47–64.
  3. Powers W.F., Tapley B.D. Canonical transformations applications to optimal trajectory analysis // AIAA Journal. 1969. Vol. 7, no. 3. Pp. 394–399.
  4. Stiefel E.L., Scheifele G. Linear and Regular Celestial Mechanics. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1971. 301 p.
  5. Sundman K.F. Mémoire sur le problème des trois corps // Acta Mathematica. Institut Mittag-Leffler. 1913. Vol. 36. Pp. 105–179.
  6. Petukhov V.G. Method of continuation for optimization of interplanetary low-thrust trajectories // Cosmic Research. 2012. Vol. 50, no. 3. Pp. 249–261.
  7. Иванюхин А.В. Оптимизация траектории космического аппарата с идеально регулируемым двигателем в переменных Кустаанхеймо — Штифеля // Труды МАИ. 2014. № 75. С. 1–16.
Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.