Сравнение результатов метода решеточных уравнений Больцмана и методов на основе уравнений Навье — Стокса

Язык труда и переводы:
УДК:
532.529
Дата публикации:
28 декабря 2021, 01:51
Категория:
Секция 07. Развитие космонавтики и фундаментальные проблемы газодинамики, горения и теплообмена
Авторы
Толстогузов Семен Сергеевич
БГТУ «ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф. Устинова
Чернышов Павел Сергеевич
БГТУ «ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф. Устинова
Аннотация:
Метод решеточных уравнений Больцмана — это один из вычислительных методов механики жидкости, основанный на кинетическом уравнение Больцмана, которое дискретизируется по скоростям, пространству и времени. Метод имеет ряд преимуществ по сравнению с другими вычислительными методами, существенными из которых являются его простота реализации, легкость в распараллеливание и многоуровневая природа. В этой работе выполнено сравнения результатов, полученных с помощью метода решеточных уравнений Больцмана и численных методов на основе уравнений Навье — Стокса.
Ключевые слова:
метод решеточных уравнений Больцмана, вычислительная газодинамика, численное моделирование, газовая динамика
Основной текст труда

Традиционно для решения задач гидродинамики применяются вычислительные методы, основанные на численном решении уравнений Навье — Стокса. Однако в последние 30 лет развивается альтернативный подход — метод решеточных уравнений Больцмана (Lattice Boltzmann method или LBM), в котором для моделирования течения вязкой Ньютоновской жидкости решается дискретизированное уравнение Больцмана.

Интерес к решетчатому методу Больцмана неуклонно растет с тех пор, как он вырос из моделей решетчатого газа в конце 1980-х годов [1]. Модель решетчатого газа была впервые представлена в 1973 г. Однако рабочая модель, которую можно было бы использовать для моделирования жидкости, была опубликована лишь в 1986 г. Вышеупомянутый метод имеет ряд существенных недостатков, в частности проблему статистического шума, поэтому в конце 1980-х годов появляется метод решеточных уравнений Больцмана [2], который избавляется от них, сохраняя при этом свои сильные стороны.

Одним из важных преимуществ этого метода является его многоуровневая природа [1]. В контексте жидкостей часто ссылаются на микроскопические, мезоскопические и макроскопические описания. Под «микроскопическим» понимается молекулярное описание, а под «макроскопическим» — полностью непрерывная картина течения с осязаемыми величинами, такими как скорость и плотность жидкости. Таким образом, микроскопические системы управляются динамикой Ньютона, в то время как уравнения Навье — Стокса являются управляющими уравнениями для сплошной среды. Однако между микроскопическим и макроскопическим описаниями находится «мезоскопическое» описание, в котором не отслеживаются отдельные молекулы, а отслеживается распределение или репрезентативные коллекции молекул. Кинетическая теория является мезоскопическим описанием жидкости.

Для решения уравнений Навье — Стокса обычно используются метод конечных разностей (FDM), метод конечных объемов (FVM),  или метод конечных элементов (FEM) [3]. Однако данные методы можно использовать только для моделирования процессов макроуровня.

Для моделирования процессов микроуровня используют метод моделирования молекулярной динамики (MD). В нем определяются межчастичные (межмолекулярные) силы и решается обыкновенное дифференциальное уравнение второго закона Ньютона (сохранение импульса). На каждом временном шаге определяется местоположение и скорость каждой частицы, т. е. траектория частиц. Однако данный метод плохо подходит для моделирования мезоскопических процессов и совсем не подходит для макроскопических процессов, так необходимо будет промоделировать движения слишком большого количества молекул.

Для описания процессов мезоуровня используют уравнение Больцмана. Основная идея состоит в том, чтобы преодолеть разрыв между микромасштабом и макромасштабом, рассматривая не поведение каждой частицы в отдельности, а поведение совокупности частиц как единого целого. Свойство совокупности частиц представлено функцией распределения, которое действует как средство представления для сбора частиц. Один из численных методов, который использует уравнение Больцмана, является метод решеточных уравнений Больцмана. Этот метод по сравнению с вышеописанными идеально подходит как для моделирования мезопроцессов, так и макропроцессов, что дает ему существенное преимущество относительно других методов [4].

Другим важным достоинством метода является его простота реализации. LBM не включает уравнение Пуассона [5], которое может быть трудно решить из-за его нелокальности. Также он превосходит другие методы в легкости распараллеливания, так как самые тяжелые вычисления в LBM являются локальными, т. е. ограничены узлами [2]. Другие преимущества, а также недостатки данного метода относительно других методов описаны в книге [5].

В этой работе произведены сравнения результатов, полученных с помощью метода решеточных уравнений Больцмана и численных методов на основе уравнений Навье — Стокса первого порядка точности. Для сравнения использовались задачи, которые часто используются для тестирования CFD-кодов. Первой задаче была «течение в плоском канале», где жидкость течет между двумя параллельными пластинами с равномерной скоростью. На входе задавался однородный профиль скорости.  Второй задачей была «течение в каверне», где квадратная полость заполнена жидкостью, а сверху этой полости лежит крышка, которая в начальный момент времени начинает двигаться с постоянной скоростью и тем самым приводить жидкость в движение. Третьей задачей была «течение в канале с внезапным расширением». И последней тестовой задачей была «естественная конвекция в дифференциально нагретой полости». В этой задаче квадратная полость заполнена газом. С левой стенки идет постоянный нагрев, а с правой — охлаждение газа. Нижняя и верхняя границы теплоизолированы. Расчеты проводились при разном количестве узлов.

Грант
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 21-19-00657).
Литература
  1. Wolf-Gladrow D.A. Lattice-gas cellular automata and lattice Boltzmann models: an introduction. Berlin: Springer, 2005. 308 p.
  2. Succi S. The lattice Boltzmann equation for fluid dynamics and beyond. Oxford: Oxford University Press, 2001. 288 p.
  3. Емельянов В.Н. Численные методы: введение в теорию разностных схем. М.: Юрайт, 2018. 188 c.
  4. Mohamad A.A. Lattice Boltzmann method. London: Springer, 2011. 178 p.
  5. Kruger T., Kusumaatmaja H., Kuzmin A., Shardt O., Silva G., Viggen E., M. The Lattice Boltzmann method. Berlin: Springer, 2017. 694 p.
Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.