О влиянии возмущения J2 на движение спутника под воздействием силы Лоренца

Язык труда и переводы:
УДК:
531.396
Дата публикации:
15 января 2022, 22:31
Категория:
Секция 05. Прикладная небесная механика и управление движением
Авторы
Патель Ишан
Санкт-Петербургский государственный университет
Тихонов Алексей Александрович
Санкт-Петербургский государственный университет
Аннотация:
Представлена задача определения параметров орбиты объекта космического мусора (ОКМ), возмущенного J2, движущегося под действием силы Лоренца, создаваемой магнитным полем спутника, предназначенного для удаления космического мусора. Рассмотрена возможность очистки околоземного космического пространства от металлических ОКМ с помощью космического аппарата с магнитной катушкой (также называемого коллектором). Предлагаемый метод активного удаления ОКМ относится к категории бесконтактных. Для захвата ОКМ с высокой околоземной орбиты и последующего увода его в заданную точку на низкой околоземной орбите, где он может быть безопасно удален в атмосферу Земли, его движение должно быть точно предсказано. Следовательно, необходимо учитывать влияние возмущающих сил, происходящих от таких факторов как сжатие Земли. В рассматриваемой модели учитывается возмущение, вызванное второй зональной гармоникой геопотенциала J2.
Ключевые слова:
удаление космического мусора, сила Лоренца, возмущение J2, относительное движение
Основной текст труда

Как правило, орбиту любого движущегося тела в космосе можно охарактеризовать шестью основными математическими элементами, которые однозначно определяют конкретную орбиту. В качестве альтернативы для описания орбиты можно использовать три дифференциальных уравнения второго порядка относительно векторов положения и скорости точки. Однако такой вариант допускает аналитические решения в замкнутой форме только для модели Земли в виде однородного шара. Учет возмущений обычно усложняет систему дифференциальных уравнений так, что получить точные аналитические решения становится невозможным.

С целью учета отличия гравитационного поля Земли от поля однородного шара, гравитационный потенциал Земли может быть построен на основе модели с использованием зональных сферических гармоник, из которых J2 имеет наибольшее значение по причине ее сравнительно большой величины [1]. Соответствующая J2 потенциальная функцияϕJ2 имеет вид


\phi _{J2}(r,z)=\mu {\frac {J_{2}}{2}}{\frac {R_{e}^{2}}{r^{3}}}\left(1-3{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\right),

где J_{2}=1,082629\cdot 10^{-3};  Re  — радиус Земли; r —  радиальное расстояние; z — полярная компонента радиус-вектора спутника r.

Ускорение из-за возмущения J2 получается путем взятия градиента потенциальной функции ϕJ2. Тогда ускорение в инерциальной системе отсчета в декартовых координатах определяется как вектор

a_{J2}=-{\frac {3}{2}}{\frac {J_{2}\mu R_{e}^{2}}{r^{4}}}\left(\left(1-3{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\right){\frac {x}{r}},\left(1-3{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\right){\frac {y}{r}},\left(3-3{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\right){\frac {z}{r}}\right)^{\mathrm {T} }.

Уравнения относительного движения ОКМ под действием силы тяги, магнитного и гравитационного возмущений записываются в геоцентрической инерциальной системе отсчета. Уравнения выводятся с использованием декартовых координат. При этом

{\ddot {r}}=-\left(a_{g}+a_{J2}\right)+u+a_{L}.

Здесь вектор ag — ускорение, обусловленное гравитацией и полученное на основе потенциала однородного шара; вектор u — ускорение, обусловленное силой тяги; вектор aL — ускорение, вызванное силой Лоренца, действующей на ОКМ, движущийся в магнитном поле коллектора [2].

Выражение для силы Лоренца, действующей на проводящий сферический объект в локальной системе LVLH O (r, α, h), записывается как

{\boldsymbol {F}}_{L}=-{\frac {\sigma R_{d}^{2}}{10\rho _{d}}}\left({\dot {r}}\left({\frac {\partial {\boldsymbol {B}}_{c}}{\partial r}}\right)^{2},{\dot {\alpha }}\left({\frac {\partial {\boldsymbol {B}}_{c}}{\partial \alpha }}\right)^{2},{\dot {h}}\left({\frac {\partial {\boldsymbol {B}}_{c}}{\partial h}}\right)^{2}\right)^{\mathrm {T} },

где параметр \sigma — проводимость ОКМ; R_{d} — средний радиус проводящей поверхности ОКМ; \rho _{d} — плотность ОКМ; B_{c}  — индукция магнитного поля коллектора.

Векторы, заданные в локальной системе координат LVLH, а именно ускорение из-за силы Лоренца и вектор силы тяги, могут быть преобразованы в геоцентрическую инерциальную систему отсчета.

Для анализа движения системы “коллектор + ОКМ” находится ее полная энергия, которая в данном случае эквивалентна Гамильтониану {\mathcal {H}} . Учитывая, что потенциал ϕJ2 не нарушает консервативности гравитационного поля, Гамильтониан {\mathcal {H}}  должен оставаться постоянным [3]. Векторы относительного смещения и скорости рассчитываются как разности между соответствующими векторами для ОКМ и коллектора. Анализ построенной нелинейной математической модели производится с использованием численного интегрирования дифференциальных уравнений движения коллектора и ОКМ с различными наборами начальных условий. Результирующие векторы могут быть преобразованы в переменные состояния относительного движения, обычно выражаемые в системе отсчета LVLH, центр которой связан с коллектором.

Новизна работы заключается в использовании нового бесконтактного электромагнитного способа захвата и удержания ОКМ с целью его последующего удаления из околоземного космического пространства. Применение электромагнита, питаемого от бортовых аккумуляторов коллектора, в сочетании с солнечной энергией для создания достаточно сильного магнитного поля, способного захватить и удерживать металлические ОКМ в космосе, не обсуждалось в предыдущих работах, связанных с удалением космического мусора [4]. Результаты численного моделирования показывают эффективность предложенного способа удаления ОКМ. Учет возмущающего воздействия второй зональной гармоники геопотенциала не нарушает работоспособности предложенного способа. Представленный способ выгодно отличается от некоторых известных электродинамических способов тем, что обеспечивает контроль над траекторией удаляемого ОКМ.

Литература
  1. Hofmeister A.M., Criss R.E., Criss E.M. Verified solutions for the gravitational attraction to an oblate spheroid: Implications for planet mass and satellite orbits // Planetary and Space Science. 2018. Vol. 152. Pp. 68–81.
  2. Патель И.К., Тихонов А.А. Об использовании электромагнитной индукции для бесконтактного захвата объекта космического мусора // IX Поляховские чтения: мат. межд. науч. конф. по механике (Санкт-Петербург, 9–12 марта 2021). СПб.: Изд-во ВВМ, 2021. С. 156–158.
  3. Spacecraft formation flying: dynamics, control, and navigation / edited by K.T. Alfriend. Oxford: Butterworth-Heinemann / Elsevier, 2010. 382 p.
  4. Mark C.P., Kamath S. Review of Active Space Debris Removal Methods // Space Policy. 2019. Vol. 47. Pp. 194–206.
Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.