Синтез оптимального управления изменением орбиты космического аппарата с воздушным электрореактивным двигателем

Возникший в последние десятилетия интерес к размещению малых космических аппаратов (КА) на низких и сверхнизких (150...250 км) околоземных орбитах связан со значительным ростом эффективности выполнения целевых задач при снижении высоты [1–3]. Препятствием для долговременного существования КА на таких высотах является экспоненциальный рост массы рабочего тела (РТ) существующих двигателей для компенсации аэродинамического сопротивления. Одним из путей решения проблемы является применение воздушного электрореактивного двигателя (ВЭРД), использующего в качестве РТ газы окружающей атмосферы. Эффективность таких двигателей существенно зависит от угла атаки вследствие изменения притока газа к воздухозаборнику и падения концентрации газа в камере ионизации (КИ) [4–6]. Рассмотрена задача наискорейшего изменения апогея орбиты КА со сверхнизким перигеем с учетом зависимости тяги ВЭРД и аэродинамического сопротивления от угла атаки КА [5, 7] и ограничения на минимально допустимый уровень концентрации РТ в КИ. Для решения задачи применяется подход, основанный на использовании оскулирующих орбитальных элементов [8] и принципа максимума Понтрягина [9].

Рассмотрено движение КА с ВЭРД в плоскости эллиптической орбиты с радиусами апогея и перигея . Задача состоит в определении оптимального управления вектором тяги ВЭРД для максимального изменения радиуса апогея при постоянном радиусе перигея [10] с учетом зависимости тяги ВЭРД и аэродинамического сопротивления КА с ВЭРД от угла атаки  и ограничения на минимально допустимую концентрацию газа в КИ

Приняты следующие допущения:

• нормальная аэродинамическая сила пренебрежимо мала;
• средняя скорость истечения РТ постоянная ;
• вектор тяги ВЭРД направлен вдоль продольной оси КА.

При сделанных допущениях и отсутствии случайных возмущений для решения задачи достаточно рассмотреть движение КА с ВЭРД на одном витке орбиты.

Дифференциальные уравнения для изменения оскулирующих значений радиусов перигея и апогея записаны в безразмерном виде с истиной аномалией в качестве аргумента.

Зависимость тяги ВЭРД от угла атаки  определяется изменением [5] потока газа  и степени компрессии РТ в КИ

                                                                                                (1)

где  — аппроксимация степенным многочленом зависимости  рассчитанной методом Монте-Карло для цилиндрического канала ВЗ с удлинением, равным  [5].

Зависимость коэффициента аэродинамического сопротивления от угла атаки при свободномолекулярном обтекании КА с ВЭРД сформирована в виде

                                               (2)

где — отношение площади проекции элементов КА, параллельной входному потоку, к площади поперечного сечения КА; — коэффициент сопротивления пластины под нулевым углом атаки;  —  скоростное соотношение в набегающем потоке.

Верификация предложенной зависимости проведена путем сравнения с расчетами для модели полностью диффузного отражения при свободномолекулярном обтекании (diffuse reflection with incomplete accommodation, DRIA) [11–12].

В качестве компонент вектора управления приняты угол атаки и функция включения двигателя :

                                                                                                                    (3)

где допустимая область  определяется действующими ограничениями:

                                                                                                                    (4)

                                                                                                                  (5)

Требуется найти оптимальное управление (3) с учетом (1)–(5) для максимизации радиуса апогея при фиксированном радиусе перигея .

Решение задачи получено в строгой постановке на основе принципа максимума Понтрягина [9], в соответствии с которым

где — гамильтониан системы уравнений движения.

В силу малости управляющих ускорений по сравнению с гравитационным влиянием изменения параметров орбиты в правых частях уравнений движения в оскулирующих переменных на оптимальную программу управления за один виток можно пренебречь.

Для определения  при неактивных ограничениях (4), (5) использовалась рекуррентная формула с нулевым приближением из решения уравнения при аппроксимации функций . Для определения при использован метод секущих.

На основании разработанной методики проведены численные исследования эффективности решения поставленной задачи в зависимости от параметров ВЭРД, КА и радиусов апогея и перигея. Построены допустимые области существования КА с ВЭРД в пространстве параметров орбит и мощности источника энергии КА. Показано, что использование эллиптических орбит в условиях ограниченной энергетики позволяет значительно увеличить область существования КА с ВЭРД (в координатах «перигей — апогей» орбиты) за счет энергии, накопленной на пассивных участках полета КА.