Главная Препринты Стабилизация орбитальной ориентации космического аппарата во взаимосвязанных каналах крена и рысканья при отсутствии измерений угла и угловой скорости рысканья

Стабилизация орбитальной ориентации космического аппарата во взаимосвязанных каналах крена и рысканья при отсутствии измерений угла и угловой скорости рысканья

Язык труда и переводы:
УДК:
681.5
Дата публикации:
27 января 2023, 16:56
Категория:
Секция 17. Системы управления космических аппаратов и комплексов
Авторы
Лапин Алексей Владимирович
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Зубов Николай Евгеньевич
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Аннотация:
Построен стабилизирующий закон управления орбитальной ориентацией космического аппарата во взаимосвязанных каналах крена и рысканья при отсутствии измерительной информации в канале рысканья. Закон получен путем аналитического синтеза управления по выходу для линеаризованной модели четвертого порядка с двумя входами и двумя выходами. Регулятор по выходу рассчитан на основе множества регуляторов по состоянию через матричное уравнение связи. Заданный спектр блочной матрицы обеспечен с помощью преобразования подобия в виде транспонирования блоков, что позволило от управления по выходу системой с двумя входами перейти к управлению по состоянию системой с одним входом. Применимость подхода подтверждена примером численного моделирования.
Ключевые слова:
орбитальная ориентация, управление по выходу, гравитационный момент, декомпозиционный метод, преобразование подобия
Основной текст труда
 
Рассматривается линеаризованная модель углового движения космического аппарата (КА) на орбите под действием гравитационного (возмущающего) и реактивного (управляющего) моментов во взаимосвязанных каналах крена и рысканья [1]
 
{\begin{matrix}\underbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\gamma }}\\{\ddot {\gamma }}\\{\dot {\psi }}\\{\ddot {\psi }}\end{bmatrix}} _{\dot {\bf {x}}}=\underbrace {\left[{\begin{array}{c|c|c|c}0&1&0&0\\a_{2,1}&0&0&a_{2,4}\\0&0&0&1\\0&a_{4,2}&a_{4,3}&0\end{array}}\right]} _{\bf {A}}\underbrace {\begin{bmatrix}\gamma \\{\dot {\gamma }}\\\psi \\{\dot {\psi }}\end{bmatrix}} _{\bf {x}}+\underbrace {\left[{\begin{array}{c|c}0&0\\1/J_{x}&0\\0&0\\0&1/J_{y}\end{array}}\right]} _{\bf {B}}\underbrace {\begin{bmatrix}u_{x}\\u_{y}\end{bmatrix}} _{\bf {u}},\\{\bf {y}}=\underbrace {\left[{\begin{array}{c|c|c|c}1&0&0&0\\0&1&0&0\end{array}}\right]} _{\bf {C}}{\bf {x}},\end{matrix}}\quad (1) где \gamma и {\dot {\gamma }} — угол и угловая скорость крена; \psi и {\dot {\psi }} — угол и угловая скорость рысканья; a_{2,1}=-4\omega _{0}^{2}\kappa _{1} , a_{2,4}=-\omega _{0}{\begin{pmatrix}1-\kappa _{1}\end{pmatrix}} , \kappa _{1}={\begin{pmatrix}J_{z}-J_{y}\end{pmatrix}}/J_{x} , a_{4,2}=\omega _{0}{\begin{pmatrix}1-\kappa _{2}\end{pmatrix}} , a_{4,3}=-\omega _{0}^{2}\kappa _{2} , \kappa _{2}={\begin{pmatrix}J_{z}-J_{x}\end{pmatrix}}/J_{y} — коэффициенты линеаризации; \omega _{0} — орбитальная угловая скорость КА; J_{x} , J_{y} , J_{z} — осевые моменты инерции КА; {\bf {x}} , {\bf {u}} , {\bf {y}} и {\bf {A}} , {\bf {B}} , {\bf {C}} — вектора и матрицы состояния, управления, наблюдения, соответственно.
 
Требуется построить стабилизирующий закон управления при наличии информации об угловом положении и угловой скорости только в канале крена.
 
Аналогичная задача управления орбитальной ориентацией КА при неполной информации о векторе состояния была решена с помощью динамического наблюдателя [2]. Но из-за слабой динамической связи канала рысканья с другими каналами управления, при оценивании угла и угловой скорости рысканья возникают существенные ошибки.
 
В настоящей работе синтезируется управление по выходу
 
{\bf {u}}=-{\bf {Fy}}\quad (2)
с матрицей обратной связи {\bf {F}} , обеспечивающее матрице замкнутой системы управления {\bf {A}}-{\bf {BFC}} заданный характеристический полином с вещественными коэффициентами:
 
{\begin{matrix}p^{*}{\begin{pmatrix}\lambda \end{pmatrix}}=\lambda ^{4}+p_{3}^{*}\lambda ^{3}+p_{2}^{*}\lambda ^{2}+p_{1}^{*}\lambda +p_{0}^{*}.\end{matrix}}\quad (3)
 
В данном случае задача управления по выходу осложняется тем, что у объекта (1) суммарная размерность векторов управления и наблюдения не превышает размерность вектора состояния. Поэтому стандартную декомпозиционную схему аналитического синтеза [3] напрямую использовать невозможно. Предлагается альтернативный подход.
 
Согласно доказанной ранее обобщённой формуле Басса — Гура [4] найдем полное множество решений (матриц {\bf {K}} ) задачи модального управления по состоянию для пары матриц \left({\begin{array}{cc}{\bf {{A},}}&{\bf {B}}\end{array}}\right) (1) и заданного характеристического полинома \operatorname {poly} {\begin{pmatrix}{\bf {A}}-{\bf {BK}}\end{pmatrix}}=p^{*}{\begin{pmatrix}\lambda \end{pmatrix}} (3) {\begin{matrix}{\bf {K}}={\begin{pmatrix}\left[{\begin{array}{c|c}{\bf {P}}_{0}^{*}&{\bf {P}}_{1}^{*}\end{array}}\right]-\left[{\begin{array}{c|c}{\bf {P}}_{0}&{\bf {P}}_{1}\end{array}}\right]\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\bf {U}}\left[{\begin{array}{c|c}{\bf {P}}_{1}&{\bf {I}}_{2}\\{\bf {I}}_{2}&{\bf {0}}_{2\times 2}\end{array}}\right]\end{pmatrix}}^{-1}=\\=\left[{\begin{array}{c|c}{\bf {P}}_{0}^{*}&{\bf {P}}_{1}^{*}\end{array}}\right]\underbrace {\left[{\begin{array}{c|c|c|c}J_{x}&0&0&0\\0&0&J_{y}&0\\0&J_{x}&0&0\\0&0&0&J_{y}\end{array}}\right]} _{{\bf {R}}_{1}}+\underbrace {\left[{\begin{array}{c|c|c|c}J_{x}a_{2,1}&0&0&J_{x}a_{2,4}\\0&J_{y}a_{4,2}&J_{y}a_{4,3}&0\end{array}}\right]} _{{\bf {R}}_{2}},\end{matrix}}\quad (4) где  {\bf {P}}_{0}=\left[{\begin{array}{c|c}{\bf {I}}_{2}&{\bf {0}}_{2\times 2}\end{array}}\right]{\bf {P}} , {\bf {P}}_{1}=\left[{\begin{array}{c|c}{\bf {0}}_{2\times 2}&{\bf {I}}_{2}\end{array}}\right]{\bf {P}} , {\bf {P}}=-{\bf {U}}^{-1}{\bf {A}}^{2}{\bf {B}} , {\bf {U}}=\left[{\begin{array}{c|c}{\bf {B}}&{\bf {AB}}\end{array}}\right] , а матрицы {\bf {P}}_{0}^{*}\in \mathbb {R} ^{2\times 2} и {\bf {P}}_{1}^{*}\in \mathbb {R} ^{2\times 2} выбираются таким образом, чтобы выполнялось равенство {\begin{vmatrix}\lambda ^{2}{\bf {I}}_{2}+\lambda {\bf {P}}_{1}^{*}+{\bf {P}}_{0}^{*}\end{vmatrix}}=p^{*}{\begin{pmatrix}\lambda \end{pmatrix}}.\quad (5)

Здесь и далее {\bf {I}}_{n} — единичная матрица порядка n ; {\bf {0}}_{n\times {m}} — нулевая матрица размерности n\times {m} ; \mathbb {R} _{n\times {m}} — множество вещественных матриц размерности n\times {m} .

 
Уравнение связи между матрицами регуляторов по состоянию {\bf {K}} и по выходу {\bf {F}}
 
{\bf {{FC}={\bf {{K}{\rm {\quad (6)}}}}}} разрешимо относительно матрицы {\bf {F}} при условии [3] {\begin{matrix}\underbrace {\begin{pmatrix}\left[{\begin{array}{c|c}{\bf {P}}_{0}^{*}&{\bf {P}}_{1}^{*}\end{array}}\right]{\bf {R}}_{1}+{\bf {R}}_{2}\end{pmatrix}} _{\bf {K}}\underbrace {\left[{\begin{array}{c|c}0&0\\0&0\\1&0\\0&1\end{array}}\right]} _{{\bf {C}}^{\it {R}}}={\bf {0}}_{2\times 2}&\Rightarrow &\left[{\begin{array}{c|c}{\bf {P}}_{0}^{*}&{\bf {P}}_{1}^{*}\end{array}}\right]\underbrace {\left[{\begin{array}{c|c}0&0\\J_{y}&0\\0&0\\0&J_{y}\end{array}}\right]} _{{\bf {G}}={\bf {R}}_{1}{\bf {C}}^{\it {R}}}=-\underbrace {\left[{\begin{array}{c|c}0&J_{x}a_{2,4}\\J_{y}a_{4,3}&0\end{array}}\right]} _{{\bf {H}}={\bf {R}}_{2}{\bf {C}}^{\it {R}}},\end{matrix}} где {\bf {C}}^{\it {R}} — правый аннулятор максимального ранга [3] матрицы {\bf {C}} . Это условие будет выполнено, если назначить матрицы {\bf {P}}_{0}^{*} и {\bf {P}}_{1}^{*} такими, что [3] {\begin{matrix}\left[{\begin{array}{c|c}{\bf {P}}_{0}^{*}&{\bf {P}}_{1}^{*}\end{array}}\right]=-{\bf {H}}\underbrace {{\dfrac {1}{J_{y}}}\left[{\begin{array}{c|c|c|c}0&1&0&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]} _{{\bf {G}}^{+}=\left({\bf {G}}^{\it {T}}{\bf {G}}\right)^{-1}{\bf {G}}^{\it {T}}}+\underbrace {\left[{\begin{array}{c|c}q_{1,1}&q_{1,2}\\q_{2,1}&q_{2,2}\end{array}}\right]} _{\bf {Q}}\underbrace {\left[{\begin{array}{c|c|c|c}1&0&0&0\\0&0&1&0\end{array}}\right]} _{{\bf {G}}^{\it {L}}}=\\=\left[{\begin{array}{c|c|c|c}q_{1,1}&0&q_{1,2}&-{\tilde {a}}_{2,4}\\q_{2,1}&-a_{4,3}&q_{2,2}&0\end{array}}\right],\end{matrix}}\quad (7) где {\tilde {a}}_{2,4}={\begin{pmatrix}J_{x}/J_{y}\end{pmatrix}}a_{2,4} ; {\bf {G}}^{\it {L}} и {\bf {G}}^{+} — соответственно левый аннулятор максимального ранга и псевдообращение [3] матрицы {\bf {G}} ; q_{1,1} , q_{1,2} , q_{2,1} , q_{2,2} — вещественные параметры. 
 
За счет параметров матрицы {\bf {Q}} необходимо аналитически обеспечить заданный характеристический полином \operatorname {poly} {\bf {\Phi }}={\begin{vmatrix}\lambda ^{2}{\bf {I}}_{2}+\lambda {\bf {P}}_{1}^{*}+{\bf {P}}_{0}^{*}\end{vmatrix}} (5) матрице {\bf {\Phi }}=\left[{\begin{array}{c|c}{\bf {0}}_{2\times 2}&{\bf {I}}_{2}\\-{\bf {P}}_{0}^{*}&-{\bf {P}}_{1}^{*}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c|c|c|c}0&0&1&0\\0&0&0&1\\-q_{1,1}&0&-q_{1,2}&{\tilde {a}}_{2,4}\\-q_{2,1}&a_{4,3}&-q_{2,2}&0\end{array}}\right]. Заметим, что если транспонировать нижние блоки матрицы {\bf {\Phi }} , то ее характеристический полином не изменится: {\begin{vmatrix}\lambda ^{\rm {2}}{\bf {{I}_{\rm {2}}+\lambda {\bf {{P}_{\rm {1}}^{*}+{\bf {{P}_{\rm {0}}^{*}}}}}}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\lambda ^{\rm {2}}{\bf {{I}_{\rm {2}}+\lambda {\bf {{P}_{\rm {1}}^{\rm {{*}{\it {T}}}}+{\bf {{P}_{\rm {0}}^{\rm {{*}{\it {T}}}}}}}}}}\end{vmatrix}}{\rm {.}}
 
Теперь характеристический полином (5) обеспечивается подобной матрице вида {\tilde {\bf {\Phi }}}=\left[{\begin{array}{c|c}{\bf {0}}_{2\times 2}&{\bf {I}}_{2}\\-{\bf {P}}_{0}^{*{\it {T}}}&-{\bf {P}}_{1}^{*{\it {T}}}\end{array}}\right]=\underbrace {\left[{\begin{array}{c|c|c|c}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&a_{4,3}&{\tilde {a}}_{2,4}&0\end{array}}\right]} _{\tilde {\bf {A}}}-\underbrace {\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}} _{\tilde {\bf {b}}}\underbrace {\left[{\begin{array}{c|c|c|c}q_{1,1}&q_{2,1}&q_{1,2}&q_{2,2}\end{array}}\right]} _{{\tilde {\bf {k}}}^{\it {T}}}.
Таким образом, задача управления по выходу системой с двумя входами и двумя выходами свелась к задаче управления по состоянию системой с одним входом  нахождению вектора {\tilde {\bf {k}}}^{\it {T}} , обеспечивающего заданный полином \operatorname {poly} {\begin{pmatrix}{\tilde {\bf {A}}}-{\tilde {\bf {b}}}{\tilde {\bf {k}}}^{\it {T}}\end{pmatrix}}=p^{*}{\begin{pmatrix}\lambda \end{pmatrix}} . Эта задача имеет единственное решение, которое находится по формуле Аккермана [4] {\begin{matrix}{\tilde {\bf {k}}}^{\it {T}}=\left[{\begin{array}{c|c|c|c}0&0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c|c|c|c}{\tilde {\bf {b}}}&{\tilde {\bf {A}}}{\tilde {\bf {b}}}&{\tilde {\bf {A}}}^{2}{\tilde {\bf {b}}}&{\tilde {\bf {A}}}^{3}{\tilde {\bf {b}}}\end{array}}\right]^{-1}{\begin{pmatrix}{\tilde {\bf {A}}}^{4}+p_{3}^{*}{\tilde {\bf {A}}}^{3}+p_{2}^{*}{\tilde {\bf {A}}}^{2}+p_{1}^{*}{\tilde {\bf {A}}}+p_{0}^{*}{\bf {I}}_{4}\end{pmatrix}}=\\=\left[{\begin{array}{c|c|c|c}-{\dfrac {p_{0}^{*}}{a_{4,3}}}&{\dfrac {p_{1}^{*}+p_{3}^{*}a_{4,3}}{{\tilde {a}}_{2,4}}}&p_{3}^{*}&{\dfrac {1}{{\tilde {a}}_{2,4}}}{\begin{pmatrix}a_{4,3}+p_{2}^{*}+{\dfrac {p_{0}^{*}}{a_{4,3}}}\end{pmatrix}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c|c|c|c}q_{1,1}&q_{2,1}&q_{1,2}&q_{2,2}\end{array}}\right].\end{matrix}}
 
Полученные значения параметров q_{1,1} , q_{1,2} , q_{2,1} , q_{2,2} подставляются в формулу (7) и далее матрица \left[{\begin{array}{c|c}{\bf {P}}_{0}^{*}&{\bf {P}}_{1}^{*}\end{array}}\right] — в формулу {4}. После этого определяется единственное решение [3] уравнения (6) — значение искомой матрицы регулятора по выходу: {\bf {F}}=\underbrace {\begin{pmatrix}\left[{\begin{array}{c|c}{\bf {P}}_{0}^{*}&{\bf {P}}_{1}^{*}\end{array}}\right]{{\bf {R}}_{1}}+{\bf {R}}_{2}\end{pmatrix}} _{\bf {K}}\underbrace {{\bf {C}}^{\it {T}}} _{{\bf {C}}^{+}}=\left[{\begin{array}{c|c}J_{x}&0\\0&J_{y}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c|c}a_{2,1}-{\dfrac {p_{0}^{*}}{a_{4,3}}}&p_{3}^{*}\\{\dfrac {p_{1}^{*}+p_{3}^{*}a_{4,3}}{a_{2,4}}}&a_{4,2}+{\dfrac {1}{a_{2,4}}}{\begin{pmatrix}a_{4,3}+p_{2}^{*}+{\dfrac {p_{0}^{*}}{a_{4,3}}}\end{pmatrix}}\end{array}}\right].\quad (8)
 
Проверка показывает, что замкнутая система управления (1), (2), (8) имеет характеристический полином (3):
 
\operatorname {poly} {\begin{pmatrix}{\bf {A}}-{\bf {BFC}}\end{pmatrix}}=p^{*}{\begin{pmatrix}\lambda \end{pmatrix}}.
 
В среде MATLAB был реализован пример моделирования процесса построения орбитальной ориентации гипотетического КА во взаимосвязанном канале крен-рысканье. Моделирование подтвердило работоспособность предлагаемого алгоритма управления.
Литература
  1. Lapin A.V., Zubov N.E. Analytic Solution of the Problem of Stabilizing Orbital Orientation of a Spacecraft with Flywheel Engines. AIP Conference Proceedings, 2021, vol. 2318, no. 1, 130009, pp. 1–8. DOI: https://doi.org/10.1063/5.0036155
  2. Lapin A.V., Zubov N.E. Autonomous Stabilization of a Spacecraft Orbital Orientation at the Lack of Angular Velocity Measurements. 2022 Int. Russian Automation Conf., 2022, pp. 51–56. DOI: https://doi.org/10.1109/RusAutoCon54946.2022.9896299
  3. Zubov N.E., Lapin A.V., Mikrin E.A., Ryabchenko V.N. Output Control of the Spectrum of a Linear Dynamic System in Terms of the Van der Woude Method. Doklady Mathematics, 2017, vol. 96, no. 2, pp. 457–460. DOI: https://doi.org/10.1134/S1064562417050179
  4. Lapin A.V., Zubov N.E. Generalization of Bass – Gura Formula for Linear Dynamic Systems with Vector Control. Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Series Natural Sciences, 2020, vol. 89, no. 2, pp. 41–64. DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2020-2-41-64
Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.