Точные аналитические решения для нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными условиями на одной поверхности, а также на двух поверхностях для плоского тела, полого цилиндра и полой сферы, полученные в замкнутой рекуррентной форме

Прямое математическое моделирование позволяет прогнозировать тепловое состояние  широком диапазоне режимов работы, например, технической системы, провести анализ влияния различных факторов на поведение этой системы и выбрать оптимальные тепловые режимы.

Применение прямых методов математического моделирования требует анализа точности математических моделей. Модель может иметь весьма сложную структуру и учитывать достаточно большое число факторов. Однако при этом необходимо задать числовые значения всех входящих в модель характеристик, в частности, теплофизические свойства материалов, характеристики теплового взаимодействия с омывающей средой и др. Если информация отсутствует или имеет низкую точность, то сложная математическая модель утрачивает свои достоинства и не обеспечивает требуемой точности прогноза тепловых режимов.

Практическое применение математического моделирования теплообмена показывает, что возможная неудовлетворительная точность при математическом моделировании, например, высокоинтенсивных тепловых процессов обусловлена низкой точностью определения характеристик с помощью традиционных прямых методов. B таких случаях весьма действенно может быть применение расчетно-экспериментальных методов, которые базируются на принципах идентификации систем с распределенными параметрами, основу которых составляют алгоритмы и методы решения различных типов некорректных обратных задач теплообмена.

Как известно, в прямых задачах искомым является температурное поле, которое находится как решение уравнения теплопроводности с известными параметрами внутреннего переноса, соответствующее известным краевым и начальному условиям, а в обратных задачах теплопроводности начальное распределение температур и краевые условия являются неизвестными, подлежащими определению функциями.

Обратные задачи подразделяются на два основных типа:

1. определение параметров внутреннего переноса энергии — коэффициентов тепло- и температуропроводности, теплоемкости, коэффициентов поглощения света и т. п.,  являющимися физическими характеристиками вещества;
2. определение условий внешнего обмена энергией между телом и средой, т. е. нахождение граничных условий: сюда относятся вычисление температуры наружной поверхности и проходящего через нее теплового потока, расчёт переменных коэффициентов теплообмена, термических контактных сопротивлений,  степеней черноты,  угловых коэффициентов облучения, положения поверхности фазового перехода  или  деструкции, составление нестационарных балансов мощности и энергии и т. п.

Понятно, что получить решение обратной задачи теплопроводности гораздо сложнее, чем прямой, однако в прямой задаче при измерении или реализации заданных граничных условий может возникнуть много препятствий экспериментального характера. Физические условия бывают, например, таковыми, что практически не всегда возможна установка датчика на поверхности тела или существенно снижается точность измерений, вследствие размещения датчиков. Следовательно, часто трудно измерить закон изменения температуры нагреваемой поверхности твердого тела. Гораздо проще выполнить достаточно точные измерения временных зависимостей температуры во внутренних точках на теплоизолированной поверхности тела. Таким образом, возникает проблема выбора между относительно неточными измерениями и сложной аналитической задачей. В то же время достаточно точное и легко реализуемое решение обратной задачи позволило бы одновременно свести обе трудности к минимуму.                                

Прямая задача теплопроводности при корректно поставленных условиях имеет единственное решение. В случае обратных задач возможна тождественность температурных полей в результате различных по своей природе, но равноценных в энергетическом отношении внешних воздействий.

Температурное поле твердого тела не определяет однозначно граничных условий, при которых оно возникло. Целый ряд  энергетически равноценных по своим воздействиям на систему граничных условий могут по-разному отражать сложные температурные процессы.

Примером может служить тот факт, что любое перераспределение плотностей тепловых потоков, например, между конвективными и радиационными составляющими при их совокупности приводит к тождественному тепловому состоянию системы.

Имеют место и другие недостатки, присущие обратным методам исследования нестационарного теплообмена в технических системах:  ограничение числа точек в деталях, в которых измеряются температуры и тепловые потоки; экспериментально определенные значения температур и тепловые потоки, на основе которых производятся расчеты, содержат погрешности измерения даже при использовании прецизионных приборов, так как размещение датчиков в твердом теле в какой-то мере нарушает температурное поле деталей; кривизна поверхности, пространственное и временное изменение тепловых потоков в теле не дают возможности точно предсказать направление теплового потока, или иными словами, определить месторасположение датчика, которое должно находиться на нормали к поверхности.

Следует отметить, что обратные методы не дают возможности физической интерпретации нестационарных  сложных  процессов, протекающих в системах.

Кроме недостатков, в том числе вышеуказанных, обратные методы обладают некоторыми преимуществами, по сравнению с прямыми. В прямой задаче при измерении  или реализации заданных граничных условий может возникнуть много препятствий экспериментального характера. Физические условия в  исследуемых системах могут быть такими, что невозможна установка датчика на поверхности тела (например, на поверхности покрытий) или существенно снижается точность измерений вследствие размещения датчиков, поэтому часто трудно измерить закон изменения температур и тепловых потоков поверхностей твердых тел.

Резюмируя вышеизложенное, можно заключить, что имеет место актуальность получения в едином виде точного замкнутого аналитического решения нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными условиями на одной или на двух поверхностях. В рамках данной статьи точное замкнутое аналитическое решение данной обратной задачи теплопроводности достигается в рекуррентной форме, т. е. в неявной форме,  поскольку это не во всех случаях возможно в явной форме [1–5].

Существующие точные решения  обратных задач нестационарной теплопроводности относительно немногочисленны, и их ощутимо меньше, чем соответствующих решений прямой задачи нестационарной теплопроводности. Можно указать, что одна из первых удачных попыток решения обратной задачи нестационарной теплопроводности для плоского тела впервые была предпринята в 1890 г. Й. Стефаном [1–3].

В дальнейшем были получены решения сходных задач, отчасти имеющих не только теоретический, но и прикладной характер, в том числе, и нелинейной одномерной задачи нестационарной теплопроводности [4, 5].

Целью данной статьи является получить решение нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными условиями на одной поверхности с единых позиций в замкнутой рекуррентной форме, которые будут иметь перед решениями в явном виде определённые преимущества, поскольку они могут быть получены для всех вышеуказанных задач, а в явном виде — не для всех.

Обратная задача теплопроводности для уравнения (1) или (2) состоит в нахождении граничных условий на поверхности одномерного тела при известных нестационарных температуре и тепловому потоку и теплофизических характеристиках материала тела, не зависящих от температуры.

В рамках данной статьи изучается процесс теплопроводности в момент, достаточно удаленный от начального момента времени, поэтому влияние начальных условий практически не сказывается на распределении температуры в момент измерения или наблюдения (так называемая задача без начальных условий). В практическом разрезе это может означать, что при достаточном удалении от начального момента времени компонента последействия, учитывающая влияние начальных условий, становиться настолько малой, что она будет уже меньше погрешности измерения датчиков, измеряющих температуры и тепловые потоки [4, 5].

Вышеприведённые соотношения выражают рекуррентную форму точного решения обратной задачи нестационарной теплопроводности для тел одномерной геометрии при нестационарных граничных условиях, заданных на одной стороне.

Рекуррентная форма записи решения позволяет осуществить решение данной задачи с единых позиций в замкнутой форме, поскольку выражение решений в явной форме возможно не во всех случаях, на что указано в [1].

Вопросы корректности данной обратной задачи теплопроводности (т. е. существования решения, его единственности и его устойчивости) были подробно рассмотрены в работах [1—3], поэтому в данном исследовании нет необходимости их повторного рассмотрения.

Для условий теплообмена, характерных для работ [4, 5], были проведены расчеты по зависимостям, сгенерированным в данной статье. При одинаковом температурном граничном условии наибольшее отклонение будет для плоского тела, а наименьшее — для сплошного шара; для сплошного цилиндра будет иметь место промежуточное значение. Как для полого цилиндра, так и для полого шара отклонение температуры будет бóльшим, чем для сплошных цилиндра и шара соответственно. Сравнение полого цилиндра с полым шаром показывает, что при малых значениях r₂/r₁ отклонение для полого цилиндра будет меньше, чем для полого шара, но для больших значений r₂/r₁ отклонение для полого цилиндра уже будет больше, чем для полого шара. Для рассматриваемых условий [4, 5] вышеуказанный перелом происходит при значении r₂/r₁ ≈ 3 ²/₁₅. Анализ проведенных расчетов указывает на более сильную зависимость расчётной температуры от параметра r₂/r₁ для полого шара, чем для полого цилиндра.

1. Актуальность проблемы решения обратной линейной нестационарной задачи теплопроводности одномерной геометрической формы, полученные в данной работе в замкнутой рекуррентной форме, состоит в том, что имеет место возможность достаточной степенью точности восстанавливать граничные условия по измерениям датчика теплового потока.
2. В данной работе получены точные аналитические решения для нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными условиями на одной поверхности, а также на двух поверхностях для плоского тела и полых цилиндров и сфер, полученные в рекуррентной форме. Peшения при граничных условиях на двух поверхностях для плоского тела и для полого шара были получены как с применением, так и без применения чисел Бернулли.
3. Полученная в статье рекуррентная форма записи решения нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными условиями на одной поверхности, а также на двух поверхностях для плоского тела, полого цилиндра и полой сферы, является решением в замкнутой форме с единых позиций, что не всегда возможно в явной форме.
4. С практической точки зрения полученные решения могут быть использованы при расчете нестационарных полей температур и плотностей тепловых потоков для различных материалов, применяемых в авиационной и ракетно-космической технике, исходя из измеренных нестационарных граничных условиях на одной из сторон, а также на двух поверхностях для плоского тела, полого цилиндра и полой сферы.