Главная Препринты Концепция построения оптимизационного алгоритма начальной выставки инерциальных систем

Концепция построения оптимизационного алгоритма начальной выставки инерциальных систем

Язык труда и переводы:
УДК:
629.7.054.07
Дата публикации:
21 января 2023, 15:11
Категория:
Секция 17. Системы управления космических аппаратов и комплексов
Авторы
Наумченко Владислав Павлович
филиал АО «ЦЭНКИ» НИИ ПМ им. академика В.И. Кузнецова
Илюшин Павел Алексеевич
филиал АО «ЦЭНКИ» НИИ ПМ им. академика В.И. Кузнецова
Пикунов Дмитрий Григорьевич
филиал АО «ЦЭНКИ» НИИ ПМ им. академика В.И. Кузнецова
Аннотация:
Рассмотрен общий подход к построению автономного алгоритма начальной выставки инерциальных навигационных систем платформенного типа, базирующийся на применении оптимизационного математического аппарата. Ядром алгоритма является метод градиентного спуска, принимающий первичные показания инерциальных датчиков в качестве оптимизируемых параметров. Проводимая пространственная оптимизация положения платформы дает возможность осуществлять более быструю автономную начальную выставку.
Ключевые слова:
инерциальная навигационная система, стабилизируемая платформа, начальная выставка, оптимизация
Основной текст труда

Введение

Особенностью эксплуатации инерциальных навигационных систем (ИНС) является необходимость их начальной выставки. Автономная выставка совершается по показаниям инерциальных измерительных элементов, которые объединяются в инерциальные измерительные блоки (ИИБ), являющиеся наряду с цифровым вычислителем главными подсистемами ИНС [1]. Информационный выход ИИБ в первую очередь содержит вектор кажущегося ускорения и вектор угловой скорости, измеряемые инерциальными датчиками.

Вопрос автономности критически важен при навигации ракет космического назначения, когда системы управления строятся на базе ИНС без применения иных корректирующих систем. Очевидно, что начальная ошибка решения навигационной задачи будет определяться погрешностью начальной выставки ориентации ИИБ, поскольку координаты и линейные скорости в местах запуска известны с геодезической точностью.

Постановка задачи

В целях снижения времени выставки, повышения точности и качества динамических характеристик системы можно проводить этапы горизонтирования и гирокомпасирования параллельно, решая задачу пространственной оптимизации положений осей чувствительности (ОЧ) датчиков [2, 3].

В рамках работы рассматривается общий принцип оптимизационного подхода при решении задачи начальной выставки ИНС платформенного типа или БИНС на вращающемся основании типа подвижного блока чувствительных элементов на основе применения градиентного метода с постоянным и переменным шагом.

Модель алгоритма

Динамика трехосной платформы в общем случае описывается системой динамических уравнений Эйлера в виде:

{\begin{cases}J_{x}{\dot {\omega }}_{x}+(J_{z}-J_{y})\omega _{z}\omega _{y}=M_{u_{x}}+M_{\xi _{x}}\\J_{y}{\dot {\omega }}_{y}+(J_{x}-J_{z})\omega _{x}\omega _{z}=M_{u_{y}}+M_{\xi _{y}}\\J_{z}{\dot {\omega }}_{z}+(J_{y}-J_{x})\omega _{x}\omega _{y}=M_{u_{z}}+M_{\xi _{z}}\end{cases}},

где J_{x,y,z} —  моменты инерции платформы вокруг относительно соответствующих осей; \omega _{x,y,z}={\dot {\alpha }}_{x,y,z} — угловые скорости вращения платформы; M_{u_{x,y,z}} — моменты управления положением платформы; M_{\xi _{x,y,z}} — суммарные возмущающие моменты.

Преобразовывая выражение выше и предполагая малость углов разворота платформы, запишем систему нелинейных дифференциальных уравнений движения платформы, относительно углов \alpha _{1,2,3} :

 

{\begin{cases}J_{z_{p}}({\ddot {\alpha }}_{3}-{\ddot {\alpha }}_{1}\alpha _{2})-(J_{x_{p}}-J_{y_{p}})({\dot {\alpha }}_{1}^{2}\alpha _{3}-{\dot {\alpha }}_{1}{\dot {\alpha }}_{2}\alpha _{3}^{2}-{\dot {\alpha }}_{2}^{2}\alpha _{3})+{\dot {\alpha _{3}}}(h_{3}-K_{32})+K_{31}\alpha _{3}=M_{13}\\(J_{x_{in}}+J_{x_{p}}+J_{y_{p}}\alpha _{3}^{2})+(J_{x_{p}}-J_{y_{p}}){\ddot {\alpha }}_{1}\alpha _{3}+[(J_{y_{in}}-J_{z_{in}})-(J_{y_{p}}-J_{z_{p}})+(J_{z_{p}}-J_{x_{p}})\alpha _{3}^{2}]{\dot {\alpha }}_{1}^{2}\alpha _{2}-(J_{y_{p}}-J_{x_{p}}){\dot {\alpha _{1}}}{\dot {\alpha _{2}}}\alpha _{2}\alpha _{3}-\\-[(J_{y_{p}}-J_{z_{p}})-(J_{z_{p}}-J_{x_{p}})\alpha _{3}^{2}]{\dot {\alpha }}_{1}{\dot {\alpha }}_{3}+(J_{y_{p}}-J_{x_{p}}){\dot {\alpha }}_{2}{\dot {\alpha }}_{3}\alpha _{3}+{\dot {\alpha }}_{2}(h_{2}+K_{22})-K_{21}\alpha _{2}=M_{12}\\(J_{x_{out}}+J_{y_{in}}+J_{y_{p}}+J_{x_{p}}\alpha _{3}^{2}+J_{z_{in}}\alpha _{3}^{2})+(J_{x_{p}}-J_{y_{p}}){\ddot {\alpha }}_{2}\alpha _{3}+(J_{y_{p}}-J_{x_{p}}){\dot {\alpha }}_{1}^{2}\alpha _{2}\alpha _{3}-[(J_{z_{p}}-J_{x_{p}})-(J_{y_{p}}-J_{z_{p}}){\dot {\alpha }}_{3}]-\\-K_{32}{\dot {\alpha }}_{3}\alpha _{2}+{\dot {\alpha }}_{1}(h_{1}-K_{12})+K_{11}\alpha _{1}=M_{11}\end{cases}},

где J_{{x_{p}},{y_{p}},{z_{p}}} — моменты инерции платформы; J_{{x_{in}},{y_{in}},{z_{in}}} — моменты инерции внутреннего кольца; J_{{x_{out}},{y_{out}},{z_{out}}} — моменты инерции наружнего кольца; \alpha _{1,2,3} — углы отклонения платформы от сопровождающего географического базиса; h_{1,2,3} — коэффициенты демпфирования двигателя стабилизации; K_{ij},i={\overline {1,3}},j={\overline {1,2}} — коэффициенты усиления в цепи стабилизации; M_{11,12,13} — возмущающие моменты.

Очевидно, что показания инерциальных датчиков будут зависеть от углов в полученной системе. То есть, приведение платформы в такое угловое положение, которое обеспечивает оптимальность показаний инерциальных датчиков соответствует решению задачи выставки. Под оптимальностью в данном случае будем понимать совмещенность осей географического сопровождающего базиса и базиса, образованного ортогональной триадой осей инерциальных датчиков с погрешностью, не превышающей заданной требованием к точности начальной выставки. В ряде случае, специфическая геометрия ИИБ не позволит решить задачу в явном виде, в виду невозможности прямого физического совмещения базисов (например, конусная геометрия ИИБ). В таком случае производится совмещение самой платформы с учетом пересчета показаний датчиков ИИБ в географический базис. Таким образом, добавляется лишь дополнительный блок пересчета, который можно реализовать чисто в программном виде.

Такой подход к построению алгоритма начальной выставки в высокой степени схож с оптимальным синтезом систем автоматического управления, когда создаваемая система должна обладать наилучшими в некотором смысле качествами с точки зрения минимизации функционала от величин, характеризующих состояние системы.

Математическое построение алгоритма, в общем случае, основывается на следующем рекуррентном соотношении:

\mathbf {W} _{k+1}=\mathbf {W} _{k}+\mu \mathbf {p} _{k}

\mathbf {p} _{k}=-\mathbf {g} _{k}

\mathbf {g} _{k}=\nabla \mathbf {\varepsilon } (\mathbf {W} _{k}).

Здесь \mathbf {W} _{k}=(A_{k}^{1},A_{k}^{2},A_{k}^{3},G_{k}^{1},G_{k}^{2},G_{k}^{3})^{T} — вектор показаний акселерометров A_{k}^{i} — и датчиков угловой скорости G_{k}^{i} ; \mu — скорость поиска экстремума; \mathbf {p} _{k} — вектор антиградиентов показаний; \mathbf {g} _{k} — вектор градиентов показаний; \nabla \mathbf {\varepsilon } — допустимая ошибка выставки.

Однако построение алгоритма в полученной форме может привести в ряде случаев к долгой сходимости, то есть неудовлетворительно большому времени выставки. В связи с этим алгоритм модифицируется стандартным приемом – добавлением коэффициента, определяющим скорость изменения самого градиента. Общая схема алгоритма по-прежнему имеет приведенный выше вид, разница состоит в вычислении направления поиска pk:

 

\mathbf {W} _{k+1}=\mathbf {W} _{k}+\mu \mathbf {p} _{k}  

\mathbf {p} _{k}=-\mathbf {g} _{k}+\mathbf {\beta } _{k}\mathbf {p} _{k-1}

\mathbf {g} _{k}=\nabla \mathbf {\varepsilon } (\mathbf {W} _{k}).

Направления поиска в этом выражении определяется значением градиента gk на текущем шаге k, направлением поиска предыдущем шаге  pk–1 и вектором коэффициентов \mathbf {\beta } _{k} .

Способы выбора коэффициентов вектора \mathbf {\beta } _{k} получили собственные названия [4]. Алгоритм Флетчера-Ривза:

\mathbf {\beta } _{k}={\frac {\mathbf {g} _{k}^{T}\mathbf {g} _{k}}{\mathbf {g} _{k-1}^{T}\mathbf {g} _{k-1}}} .

Алгоритм Полака-Рибьера:

 

\mathbf {\beta } _{k}={\frac {\Delta \mathbf {g} _{k-1}^{T}\mathbf {g} _{k}}{\mathbf {g} _{k-1}^{T}\mathbf {g} _{k-1}}} .

 

Алгоритм Хестенса-Штейфеля:

 

\mathbf {\beta } _{k}={\frac {\Delta \mathbf {g} _{k-1}^{T}\mathbf {g} _{k}}{\Delta \mathbf {g} _{k-1}^{T}\mathbf {p} _{k-1}}} .

 

Учитывая тот факт, что проекции ускорения свободного падения и угловой скорости вращения Земли на ОЧ инерциальных датчиков являются функциями углов ориентации и угловой скорости вращения платформы, матрица Якоби примет вид:

 

\mathbf {H} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \alpha _{k}^{1}}{\partial {A_{k}^{1}}}}\quad {\frac {\partial \alpha _{k}^{1}}{\partial {A_{k}^{2}}}}\quad {\frac {\partial \alpha _{k}^{1}}{\partial {A_{k}^{3}}}}\quad {\frac {\partial \alpha _{k}^{1}}{\partial {G_{k}^{1}}}}\quad {\frac {\partial \alpha _{k}^{1}}{\partial {G_{k}^{2}}}}\quad {\frac {\partial \alpha _{k}^{1}}{\partial {G_{k}^{3}}}}\\{\frac {\partial \alpha _{k}^{2}}{\partial {A_{k}^{1}}}}\quad {\frac {\partial \alpha _{k}^{2}}{\partial {A_{k}^{2}}}}\quad {\frac {\partial \alpha _{k}^{2}}{\partial {A_{k}^{3}}}}\quad {\frac {\partial \alpha _{k}^{2}}{\partial {G_{k}^{1}}}}\quad {\frac {\partial \alpha _{k}^{3}}{\partial {G_{k}^{2}}}}\quad {\frac {\partial \alpha _{k}^{3}}{\partial {G_{k}^{3}}}}\\{\frac {\partial \alpha _{k}^{3}}{\partial {A_{k}^{1}}}}\quad {\frac {\partial \alpha _{k}^{3}}{\partial {A_{k}^{2}}}}\quad {\frac {\partial \alpha _{k}^{3}}{\partial {A_{k}^{3}}}}\quad {\frac {\partial \alpha _{k}^{3}}{\partial {G_{k}^{1}}}}\quad {\frac {\partial \alpha _{k}^{1}}{\partial {G_{k}^{2}}}}\quad {\frac {\partial \alpha _{k}^{1}}{\partial {G_{k}^{3}}}}\\{\frac {\partial {\dot {\alpha }}_{k}^{1}}{\partial {A_{k}^{1}}}}\quad {\frac {\partial {\dot {\alpha }}_{k}^{1}}{\partial {A_{k}^{2}}}}\quad {\frac {\partial {\dot {\alpha }}_{k}^{1}}{\partial {A_{k}^{3}}}}\quad {\frac {\partial {\dot {\alpha }}_{k}^{1}}{\partial {G_{k}^{1}}}}\quad {\frac {\partial {\dot {\alpha }}_{k}^{1}}{\partial {G_{k}^{2}}}}\quad {\frac {\partial {\dot {\alpha }}_{k}^{1}}{\partial {G_{k}^{3}}}}\\{\frac {\partial {\dot {\alpha }}_{k}^{2}}{\partial {A_{k}^{1}}}}\quad {\frac {\partial {\dot {\alpha }}_{k}^{2}}{\partial {A_{k}^{2}}}}\quad {\frac {\partial {\dot {\alpha }}_{k}^{2}}{\partial {A_{k}^{3}}}}\quad {\frac {\partial {\dot {\alpha }}_{k}^{2}}{\partial {G_{k}^{1}}}}\quad {\frac {\partial {\dot {\alpha }}_{k}^{2}}{\partial {G_{k}^{2}}}}\quad {\frac {\partial {\dot {\alpha }}_{k}^{2}}{\partial {G_{k}^{3}}}}\\{\frac {\partial {\dot {\alpha }}_{k}^{3}}{\partial {A_{k}^{1}}}}\quad {\frac {\partial {\dot {\alpha }}_{k}^{3}}{\partial {A_{k}^{2}}}}\quad {\frac {\partial {\dot {\alpha }}_{k}^{3}}{\partial {A_{k}^{3}}}}\quad {\frac {\partial {\dot {\alpha }}_{k}^{3}}{\partial {G_{k}^{1}}}}\quad {\frac {\partial {\dot {\alpha }}_{k}^{3}}{\partial {G_{k}^{2}}}}\quad {\frac {\partial {\dot {\alpha }}_{k}^{3}}{\partial {G_{k}^{3}}}}\end{pmatrix}} .

 

Таким образом, на каждом шаге работы алгоритма необходимы вычисления приведенной матрицы, что в ряде случаев может привести к увеличению времени сходимости и значительным вычислительным нагрузкам. С целью повышения быстродействия возможно уменьшение размера матрицы до 3×6 путем исключения либо углов \alpha _{1,2,3} , либо угловых скоростей {\dot {\alpha }}_{1,2,3} (гораздо реже). С другой стороны, в окрестности экстремума возможно увеличение размера матрицы до 9х6 путем ввода угловых ускорений {\ddot {\alpha }}_{1,2,3} с целью наблюдения за динамикой более высокого порядка.

Заключение

В рамках работы рассмотрены математические основы построения алгоритма начальной выставки платформенных инерциальных систем и бесплатформенных на вращающемся основании на базе применения оптимизационного подхода, когда в автономном режиме находится оптимальная ориентация платформы только по показаниям инерциальных датчиков. В качестве ядра алгоритма принимаются градиентные методы с постоянным или переменным шагом, вычисляющие градиенты показаний датчиков в процессе выставки. Различные способы вычисления шага пространственного разворота повышают гибкость алгоритма с точки зрения его формирования, но не влияют на саму специфику. Более того, широкий арсенал прикладных оптимизационных методов дает возможность к построению различных вариантов алгоритма начальной выставки.

Литература
  1. Алешин Б.С., Тювин А.В., Черноморский А.И., Плеханов В.Е. Проектирование бесплатформенных инерциальных навигационных систем. Москва, МАИ-Принт, 2009, 396 с.
  2. Наумченко В.П. Современный подход построения алгоритма начальной выставки инерциальных навигационных систем платформенного класса. Кузнечно-штамповочное производство. Обработка материалов давлением, 2022, № 9, с. 51–59.
  3. Наумченко В.П. Подход к построению алгоритма начальной выставки инерциальных навигационных систем. XLVIII Гагаринские чтения. Междунар. молодежная науч. конф.: сб. тез. работ. 2022, с. 173–174.
  4. Тюменцев Ю.В., Чернышев А.В. Обучение нейронных сетей прямого распространения. Москва, Изд-во МАИ, 2012, 48 с.
Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.