Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.
Приближенные модели орбитального движения являются полезным инструментом в задачах небесной механики. Они позволяют быстро получать начальное приближение для оптимизационных схем и проводить качественный анализ динамики. В настоящей работе рассматривается возмущенная задача двух тел, которая широко используется при описании движения естественных и искусственных спутников небесных тел. Учет нецентральности геопотенциала главного тела, сил притяжения других небесных тел, светового давления, сопротивления атмосферы, силы тяги двигателей и прочих возмущений приводит к тому, что уравнения движения не имеют аналитического решения в явном виде, что усложняет их анализ. Аналитические результаты получены для частных случаев возмущений, таких как ускорение, постоянное по амплитуде и направлению [1], постоянное радиальное [2] и тангенциальное [3, 4] ускорение, радиационное давление [5]. Однако для возмущений более общего вида точного решения не существует.
Одним из эффективных способов аппроксимации траекторий в неинтегрируемых системах является метод усреднения. По теореме Н.Н. Боголюбова [6] об усреднении в стандартной системе решение усредненных уравнений движения аппроксимирует решения исходной задачи на отрезке времени, обратно пропорциональном величине возмущения. Стандартная процедура усреднения, примененная к рассматриваемой задаче с периодическим возмущением, приводит к тому, что влияние возмущения может быть параметризовано конечным набором скалярных величин [7, 8]. Однако обычное усреднение не приводит к системе, имеющей точное решение.
В работе представлен метод усреднения уравнений движения возмущенной задачи двух тел при условии, что возмущающее ускорение представимо в виде тригонометрического ряда Фурье по истинной долготе с постоянными коэффициентами. В отличие от стандартного метода, правые части уравнений движения усредняются не по времени, а по истинной долготе на одном витке. Обнаружено, что процесс усреднения устраняет зависимость уравнений движения от бесконечного числа коэффициентов рядов Фурье и оставляет только 8 независимых параметров. В результате получаются уравнения, которые имеют аналитическое решение в явном конечном виде. Проведено сравнение точного решения усредненной системы с численным решением неусредненной системы для различных начальных условий и функций возмущения.
Границы применимости метода связаны с представлением возмущающего ускорения и особенностями схемы усреднения. В работе считается, что возмущающее ускорение представимо в виде тригонометрического ряда Фурье по истинной долготе с постоянными коэффициентами. Это допущение является естественным, если величина возмущающего ускорения мала: так как траектория космического аппарата близка к эллиптической на нескольких витках, функция возмущающего ускорения на этом отрезке времени близка к периодической, то есть представимой в виде некоторого ряда Фурье. Особенности схемы усреднения приводят к тому, что аппроксимация неусредненных уравнений движения тем точнее, чем меньше эксцентриситет орбиты: с точностью до членов первого порядка по эксцентриситету предложенное усреднение эквивалентно стандартной схеме.
Полученные результаты можно применить в задаче оптимизации управления орбитальным движением аппарата с двигателем малой тяги. Так как решение усредненной системы зависит от конечного набора параметров, управление параметризуется, а задача оптимального управления сводится к задаче нелинейного программирования небольшой размерности.
