Ваш браузер устарел и не обеспечивает полноценную и безопасную работу с сайтом.
Установите актуальную версию вашего браузера или одну из современных альтернатив.
В настоящей работе исследуются некоторые стационарные движения симметричной и асимметричной гантели в задаче Ситникова. Предполагается, что гантель состоит из двух точек массами и , и, соединенных абсолютно жестким невесомым нерастяжимым стержнем. Гантель ориентирована вдоль оси , нормальной к плоскости движения основных тел и проходящей через их центр масс.
Известно, что в классической задаче Ситникова исследуются движения материальной точки вдоль оси в виде осциллирующих движений с нарастающей амплитудой, хаотических движений, периодических движений и движений с бифуркациями, с устойчивостью относительных равновесий и периодических движений. В обобщенной задаче Ситникова рассматриваются движения твердого тела, когда его центр масс перемещается вдоль нормали к плоскости движения основных тел. Так, в статье [1] описано поступательно-вращательное движение однородного стержня в круговой задаче Ситникова, когда его центр масс перемещается вдоль этой нормали, при этом сам стержень непрерывно вращается вокруг нее, образуя с ней постоянный угол (многообразие «гравитационный пропеллер»). Как частный случай, стержень может перемещаться поступательно в синодических осях, будучи ориентирован вдоль оси, соединяющей притягивающие тела, либо быть перпендикулярным этой оси. Он также может целиком принадлежать оси , совершая поступательное одномерное движение вдоль нее, либо покоиться. В более общей постановке некоторые поступательно-вращательные движения твердого тела исследованы в рамках ограниченной задачи трех тел. В работе [2], в рамках классической задачи Ситникова, из предположения, что эксцентриситет орбит основных тел мал, исследована нелинейная задача о существовании периодического движения третьего тела с периодом, кратным периоду обращения основных тел по их орбитам. Также там решена проблема устойчивости (в смысле Ляпунова) этих периодических движений как при возмущениях, сохраняющих траекторию третьего тела прямолинейной, так и при произвольных пространственных возмущениях. Исследование [3] по классической задаче Ситникова показывает существование двух взаимодополняющих последовательностей интервалов значений эксцентриситета , которые накапливаются до максимально допустимого значения эксцентриситета , и такие, что для одной из последовательностей инвариантные кривые вращения вокруг фиксированной точки сохраняются. Более того, они сжимаются до плоскости , поскольку стремится к .
Будем рассматривать задачу Ситникова [4] в обобщенной постановке [1]. Обобщение заключается в замене пассивно-гравитирующей точки на гантель, состоящую из двух точечных масс, соединенных абсолютно жестким невесомым и нерастяжимым стержнем. Нами исследованы равновесия симметричной и асимметричной гантели в круговой задаче , когда гантель ориентирована вдоль нормали к плоскости движения основных тел. Показано существование бифуркационной длины гантели , получено аналитическое выражение для равновесий, отличных от тривиального, в параметрическом виде для симметричной гантели. Построена бифуркационная диаграмма равновесий, фазовые портреты колебаний для симметричной и асимметричной гантели.
Рассмотрена также обобщенная эллиптическая задача Ситникова. Исследована устойчивость тривиального равновесия гантели в первом приближении при разных значениях длины гантели и эксцентриситета . Показано, что увеличение длины гантели ведет к расширению интервалов неустойчивости по эксцентриситету , найдено наименьшее значение длины гантели , при котором тривиальное равновесие неустойчиво для всех из интервала .
